Методы интегрирования: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
→Интегрирование выражений вида \int \sin^m x \cdot \cos^n x \cdot dx: Это пример предыдущего метода |
→Интегрирование рациональных дробей: исправление |
||
(не показано 40 промежуточных версий 19 участников) | |||
Строка 4: | Строка 4: | ||
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём [[Тождественное преобразование|тождественных преобразований]] подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким [[Список интегралов элементарных функций|интегралам элементарных функций]]. |
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём [[Тождественное преобразование|тождественных преобразований]] подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким [[Список интегралов элементарных функций|интегралам элементарных функций]]. |
||
== Метод замены переменной (метод подстановки) == |
== <small>Метод замены переменной (метод подстановки)</small> == |
||
Метод интегрирования подстановкой заключается |
<small>Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к [[Список интегралов элементарных функций|интегралу элементарной функции]], или к нему сводящемуся.</small> |
||
Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой. |
<small>Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.</small> |
||
Пусть требуется вычислить интеграл <math>\int F(x)dx.</math> Сделаем подстановку <math>x=\varphi(t),</math> |
<small>Пусть требуется вычислить интеграл <math>\int F(x)dx.</math> Сделаем подстановку <math>x=\varphi(t),</math> |
||
где <math>\varphi(t)</math> — функция, имеющая непрерывную [[Производная функции|производную]]. |
где <math>\varphi(t)</math> — функция, имеющая непрерывную [[Производная функции|производную]].</small> |
||
Тогда <math>dx = \varphi'(t)\cdot dt</math> и на основании свойства [[инвариантность формулы интегрирования|инвариантности формулы интегрирования]] |
<small>Тогда <math>dx = \varphi'(t)\cdot dt</math> и на основании свойства [[инвариантность формулы интегрирования|инвариантности формулы интегрирования]] |
||
неопределенного интеграла получаем ''формулу интегрирования подстановкой:'' |
неопределенного интеграла получаем ''формулу интегрирования подстановкой:''</small> |
||
: <math>\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt.</math> |
: <small><math>\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt.</math></small> |
||
Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: |
<small>Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида <math>v(u(x))</math> интегрируется следующим образом:</small> |
||
: <math>\int v(u(x))dx = \int v(u(x)) \frac{d(u(x))}{d(u(x))/dx} = \int v(u(x)) \frac{d(u(x))}{u'_x}.</math> |
: <small><math>\int v(u(x))dx = \int v(u(x)) \frac{d(u(x))}{d(u(x))/dx} = \int v(u(x)) \frac{d(u(x))}{u'_x}.</math></small> |
||
⚫ | |||
<small>'''Решение:''' Пусть <math>\sqrt{x-3}=t</math>, тогда <math>x-3=t^2, x=3+t^2, dx=2tdt</math>.</small> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
<small><math>\int x \sqrt{x-3}\, dx=\int(t^2+3)t \cdot 2tdt=2 \int (t^4+3t^2)dt=2 \int t^4dt +6 \int t^2dt= \frac{2}{5}t^5 + \frac{6}{3}t^3+C= \frac{2}{5} \sqrt{x-3}^5+2 \sqrt{x-3}^3+C </math></small> |
|||
<small>Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка [[Абель, Нильс Хенрик|Абеля]]</small> |
|||
<small><math>t={d(\sqrt{x^2+px+q})\over dx},</math></small> |
|||
<small>применяемая для вычисления интегралов вида</small> |
|||
<small><math>\int {dx\over(x^2+px+q)^{{m\over2}}},</math></small> |
|||
<small>где m [[натуральное число]]<ref>{{книга|автор=Виноградова И. А., Олехник С. Н., [[Садовничий, Виктор Антонович|Садовничий В. А.]]| |
|||
заглавие=Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1|издание=2-е изд|место=М.|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|страницы=213|год=2000|}}</ref>. Иногда применяются [[подстановки Эйлера]]. См. также об интегрировании дифференциального бинома [[#Интегрирование дифференциального бинома|ниже]].</small> |
|||
<small><br /></small> |
|||
=== <small>Интегрирование некоторых тригонометрических функций</small> === |
|||
<small>Пусть требуется проинтегрировать выражение <math>R(\sin x,\cos x)</math>, где R является [[рациональная функция|рациональной функцией]] от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:</small> |
|||
*<small>если <math>R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>t=\cos x</math><ref name="UM">См. обоснование в книге: {{книга|автор=И. М. Уваренков, М. З. Маллер|заглавие=Курс математического анализа|место=М.|издательство=[[Просвещение (издательство)|Просвещение]]|том=1|год=1966|страницы=459-460}}</ref>;</small> |
|||
*<small>если <math>R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>t=\sin x</math><ref name="UM" />;</small> |
|||
*<small>если <math>R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>t=\operatorname{tg} x</math><ref>См. обоснование в книге: {{книга|автор=В. А. Ильин, Э. Г. Позняк|заглавие=Основы математического анализа|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|издание=2-е изд|серия=Курс высшей математики и математической физики|год=1967|страницы=219}}</ref>.</small> |
|||
<small>Частный случай этого правила:</small> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
<small>'''Пример:''' <math>I = \int \sin^2 x \cdot \cos x \cdot dx</math>.</small> |
|||
<small>'''Решение:''' Пусть <math>\sin x=t</math>; тогда <math>\cos x \cdot dx = dt</math> и <math> I =\int t^2 dt =\frac{t^3}{3} + C =\frac{\sin^3 x}{3} + C</math>, где ''C'' — любая константа.</small> |
|||
=== <small>Интегрирование дифференциального бинома</small> === |
|||
{{main|Дифференциальный бином}} |
|||
<small>Для вычисления интеграла от дифференциального бинома</small> |
|||
: <small><math> I=\int x^m (a+bx^n)^p\;dx,</math></small> |
|||
<small>где ''a'', ''b'' — [[действительные числа]], a ''m'', ''n'', ''p'' — [[рациональные числа]], также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:</small> |
|||
:* <small><math> p </math> — целое число. Используется подстановка <math> x=t^k </math>, <math> k </math> — общий знаменатель дробей <math> m </math> и <math> n </math>;</small> |
|||
:* <small><math> \frac{m+1}{n} </math> — целое число. Используется подстановка <math> a + b x^n = t^s </math>, <math> s </math> — знаменатель дроби <math> p </math>.</small> |
|||
:* <small><math> p+\frac{m+1}{n} </math> — целое число. Используется подстановка <math> a x^{-n} + b = t^s </math>, <math> s </math> — знаменатель дроби <math> p </math>.</small> |
|||
<small>В остальных случаях, как показал [[Чебышёв, Пафнутий Львович|П. Л. Чебышёв]] в [[1853 год]]у, этот интеграл не выражается в [[элементарная функция|элементарных функциях]]<ref>{{статья |заглавие=Sur l'intégration des différentielles irrationnelles |том=XVIII |страницы=87—111 |издание={{Нп3|Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|Journal de mathématiques pures et appliquées||Journal de Mathématiques Pures et Appliquées}} |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16397n/f97.image |язык=fr |тип=magazine |автор=P. Tchebichef |год=1853 |archivedate=2017-02-11 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170211152155/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16397n/f97.image }}</ref>.</small> |
|||
== Интегрирование по частям == |
== Интегрирование по частям == |
||
{{main|Интегрирование по частям}} |
{{main|Интегрирование по частям}} |
||
Интегрирование по частям |
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования: |
||
: <math>\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du.</math> |
: <math>\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du.</math> |
||
Или: |
Или: |
||
Строка 39: | Строка 75: | ||
: <math>\int P_{n+1}(x) e^x\,dx,</math> |
: <math>\int P_{n+1}(x) e^x\,dx,</math> |
||
где <math>P_{n+1}(x)</math> — многочлен <math>(n+1)</math>-й степени. |
где <math>P_{n+1}(x)</math> — многочлен <math>(n+1)</math>-й степени. |
||
'''Пример:''' Найти интеграл <math>\int x \cdot \ln x\,dx </math>. |
|||
'''Решение:''' Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что <math>u=\ln x \Rightarrow \displaystyle{du = \frac{dx}{x}} </math> и <math>dv = x dx\Rightarrow \int dv = \int xdx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2} </math>, тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем <math>\int x \cdot \ln x dx = \frac{x^2\ln x}{2}-\frac{1}{2}\int x^2 \cdot \frac{dx}{x} = |
|||
\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+C </math> |
|||
== Интегрирование рациональных дробей == |
== Интегрирование рациональных дробей == |
||
Строка 49: | Строка 91: | ||
: <math>Q(x)= \prod^{n}_{i=1} (x-x_i)^{k_i} \cdot \prod^{m}_{j=1} (x^2+p_jx+q_j)^{s_j}</math> |
: <math>Q(x)= \prod^{n}_{i=1} (x-x_i)^{k_i} \cdot \prod^{m}_{j=1} (x^2+p_jx+q_j)^{s_j}</math> |
||
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:<br /> |
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:<br /> |
||
: <math>\frac{P(x)}{Q(x)}= \sum^{n}_{i=1} {\sum^{ |
: <math>\frac{P(x)}{Q(x)}= \sum^{n}_{i=1} {\sum^{k_i}_{j=1} {\frac {A_{ij}} {(x-x_i)^j}} }+ \sum^{m}_{l=1} {\sum^{s_m}_{t=1} {\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x} {(x^2+p_lx+q_l)^t}} }</math> |
||
где <math>A_{ij},\alpha _{lt}, \beta _{lt}</math> — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью [[Метод неопределённых коэффициентов|метода неопределённых коэффициентов]]. |
где <math>A_{ij},\alpha _{lt}, \beta _{lt}</math> — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью [[Метод неопределённых коэффициентов|метода неопределённых коэффициентов]]. |
||
⚫ | |||
=== Примеры === |
|||
⚫ | |||
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: |
'''Решение:''' Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: |
||
<math>\frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{\alpha}{(x-3)} + \frac{\beta}{(x+3)}</math> |
<math>\frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{\alpha}{(x-3)} + \frac{\beta}{(x+3)}</math> |
||
Строка 96: | Строка 137: | ||
* [[Универсальная тригонометрическая подстановка]] |
* [[Универсальная тригонометрическая подстановка]] |
||
* [[Подстановки Эйлера]] |
* [[Подстановки Эйлера]] |
||
== Примечания == |
|||
{{примечания}} |
|||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
||
* [http://integrals.wolfram.com Wolfram Integrator] — вычисление интегралов онлайн с помощью системы [[Mathematica]] |
* [https://web.archive.org/web/20080704114104/http://integrals.wolfram.com/ Wolfram Integrator] — вычисление интегралов онлайн с помощью системы [[Mathematica]] |
||
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral Mathematical Assistant on Web] — символьные вычисления онлайн |
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral Mathematical Assistant on Web] — символьные вычисления онлайн |
||
* [http://ru.numberempire.com/integralcalculator.php Онлайн Калькулятор Интегралов] |
* [http://ru.numberempire.com/integralcalculator.php Онлайн Калькулятор Интегралов] |
Текущая версия от 18:54, 19 июля 2024
Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.
Непосредственное интегрирование
[править | править код]Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.
Метод замены переменной (метод подстановки)
[править | править код]Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.
Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида интегрируется следующим образом:
Пример: Найти
Решение: Пусть , тогда .
Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля
применяемая для вычисления интегралов вида
где m натуральное число[1]. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
[править | править код]Пусть требуется проинтегрировать выражение , где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:
- если , то применяется подстановка [2];
- если , то применяется подстановка [2];
- если , то применяется подстановка [3].
Частный случай этого правила:
Выбор подстановки производится следующим образом:
- если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
- если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
- если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку .
Пример: .
Решение: Пусть ; тогда и , где C — любая константа.
Интегрирование дифференциального бинома
[править | править код]Для вычисления интеграла от дифференциального бинома
где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:
- — целое число. Используется подстановка , — общий знаменатель дробей и ;
- — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .
- — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .
В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях[4].
Интегрирование по частям
[править | править код]Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
Или:
В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл
где — многочлен -й степени.
Пример: Найти интеграл .
Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что и , тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем
Интегрирование рациональных дробей
[править | править код]Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Пример:
Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
Следовательно
Тогда
Теперь легко вычислить исходный интеграл
Интегрирование элементарных функций
[править | править код]Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.
См. также
[править | править код]- Символьное интегрирование
- Формулы Фруллани
- Универсальная тригонометрическая подстановка
- Подстановки Эйлера
Примечания
[править | править код]- ↑ Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 213.
- ↑ 1 2 См. обоснование в книге: И. М. Уваренков, М. З. Маллер. Курс математического анализа. — М.: Просвещение, 1966. — Т. 1. — С. 459-460.
- ↑ См. обоснование в книге: В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 219. — (Курс высшей математики и математической физики).
- ↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées[англ.] : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111. Архивировано 11 февраля 2017 года.
Ссылки
[править | править код]- Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
- Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
- Онлайн Калькулятор Интегралов