Инволюция (математика): различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 15:43, 9 марта 2023

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Определение

Функция $f\colon X\to X$ называется инволюцией, если $f(f(x))=x$ для всякого $x\in X$ .

Свойства

Любая инволюция — это биекция.

Композиция ${f}\circ {g}$ двух инволюций $f$ и $g$ является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: ${f}\circ {g}=g\circ f$ .

Примеры

$f(x)=-x$ , заданная на множестве целых $\mathbb {Z}$ , рациональных $\mathbb {Q}$ или вещественных чисел $\mathbb {R}$ ;
простейшие инволюции на множестве вещественных чисел $\mathbb {R}$ :
${\dfrac {a}{x}}$ , $a-x$ , ${\dfrac {x}{x-1}}$ , ${\dfrac {x+1}{x-1}}$ , ${\dfrac {x-1}{x+1}}$ , ${\dfrac {ax+b}{cx-a}}$ ;
$f(x)={\bar {x}}$ — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества $U$ ;
$f(x)=\neg x$ — логическое отрицание булевой алгебры;
Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
- Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
инверсия;
комплексное сопряжение;
преобразование Лежандра
Перестановка $\tau$ $\tau$ является инволюцией, если $\tau \circ \tau =id$ $\tau \circ \tau =id$ , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:
${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&7&4&3&1&8&2&6\end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$ .
- Число инволюций в группе перестановок порядка $n$ определяется по формулам:
  $a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$ (рекуррентная формула),
  
  $a(n)=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {n!}{2^{k}\cdot (n-2k)!\cdot k!}}$ ,

(первые значения

a(n)

: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152^[1]).

Примечания

↑ последовательность A000085 в OEIS

[1] последовательность A000085 в OEIS

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Другие значения|Инволюция}}
+[[Файл:Involution-3.png|мини|Инволюция]]
-'''Инволю́ция''' (от {{lang-la|involutio}} — свёртывание, завиток) — нетождественное преобразование, которое является [[обратная функция|обратным]] самому себе, то есть своей собственной инверсией. Это унарная операция.
+'''Инволю́ция''' (от {{lang-la|involutio}} — свёртывание, завиток) — [[Преобразование (математика)|преобразование]], которое является [[обратная функция|обратным]] самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное [[отображение]].
+==Определение==
-Формально, функция <math>f</math> называется инволюцией, если <math>f(f(x)) = x</math>
-для всякого <math>x</math> из [[Область определения функции|области определения функции]] <math>f</math>. Иногда пишут: <math>f\circ f= {f}^{2}=id</math>, где <math>id</math> обозначает тождественное преобразование. Вместо <math>id(x)</math> используют запись: <math>e(x)=x</math>.
+Функция <math>f\colon X\to X</math> называется инволюцией, если <math>f(f(x)) = x</math> для всякого <math>x\in X</math>.
-Таким образом, двойное применение функции <math>f</math> даёт исходное значение.
+==Свойства==
-Любая инволюция — это [[биекция]].
+*Любая инволюция — это [[биекция]].
-Если преобразование <math>f</math> инволютивное, то для любого выражения <math>A</math> и его образа <math>B=f(A)</math> имеем <math>f(B)=A</math>. В самом деле, <math>f(B)= f(f(A))=id(A)={id}_{A}=A</math>.
+*Композиция <math>{f}\circ{g}</math> двух инволюций <math>f</math> и <math>g</math> является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: <math>{f}\circ{g} =g\circ f</math>.
-''Критерий инволюции''. Функция <math>f</math> является инволюцией тогда и только тогда, когда для всякого выражения <math>A</math> существует такое выражение <math>B</math>, что <math>f(A)=B\neq A</math> и <math>f(B)=A</math>. Другими словами, преобразование является инволюцией в том и только в том случае, когда оно меняет местами какие-либо два выражения.
+==Примеры==
-Если <math>f</math> — инволюция, то имеют место следующие соотношения:
-* <math>\forall a \in D_{f}: f^{-1}(a) = f(a)</math> [основное свойство]
-* <math>D_{f} = E_{f^{-1}}</math> и <math>D_{f^{-1}} = E_{f}</math>
-* <math>\forall a : f(f(a)) = a</math>
-* <math>\forall a, \exists b : f(a) = b \land f(b) = a</math> [критерий]
-Примеры инволюций:
 * <math>f(x) = -x</math>, заданная на множестве [[целое число|целых]] <math>\mathbb{Z}</math>, [[рациональное число|рациональных]] <math>\mathbb{Q}</math> или [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>;
 * простейшие инволюции на множестве [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>:
-*: <math>\dfrac{a}{x}</math>, <math>a-x</math>, <math>\dfrac{x}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x-1}{x}</math>, <math>\dfrac{x+1}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x-1}{x+1}</math>;
+*: <math>\dfrac{a}{x}</math>, <math>a-x</math>, <math>\dfrac{x}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x+1}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x-1}{x+1}</math>, <math>\dfrac{ax+b}{cx-a}</math>;
 * <math>f(x)= \bar{x}</math> — [[дополнение множества]], заданная для подмножеств некоторого универсального множества <math>U</math>;
 * <math>f(x)= \neg x</math> — [[логическое отрицание]] [[булева алгебра|булевой алгебры]];
-* [[Симметрия|симметрии]]: [[Центральная симметрия|центральная]], [[Осевая симметрия|осевая]], [[Зеркальная симметрия|зеркальная]];
+* Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: [[Центральная симметрия|центральная]] и [[Зеркальная симметрия|зеркальная симметрии]].
+** Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана [[аксиоматика Бахмана]].
 * [[инверсия (геометрия)|инверсия]];
 * [[комплексное сопряжение]];
-* [[преобразование Лежандра]].
+* [[преобразование Лежандра]]
+*[[Перестановка]] <math>\tau</math> является инволюцией, если <math>\tau\circ\tau=id</math>, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:
+*: <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
-Функция вида <math>f= {h^{-1}}\circ{g}\circ{h}</math> будет инволюцией в том и только в том случае, если функция <math>g</math> — инволюция; например, в положительных числах:
-: <math>ln\left(\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\right)</math>.
-Композиция <math>{f}\circ{g}</math> двух инволюций <math>f</math> и <math>g</math> является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: <math>{f}\circ{g} =g\circ f</math>.
-{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
-! Доказательство
-|-
-| Пусть <math>{f}\circ{g}</math> — инволюция и <math>f</math>, <math>g</math> — инволюции. Тогда в силу основного свойства: <math>{f}\circ{g}= {\left({f}\circ{g}\right)}^{-1}</math>. Но так как <math>{\left({f}\circ{g}\right)}^{-1}={g^{-1}}\circ {f^{-1}}</math>, а также <math>f=f^{-1}</math> и <math>g=g^{-1}</math>, то <math>{f}\circ{g}= {g}\circ{f}</math>.
-|}
-Аналогично, если <math>f={g}\circ{h}\circ{k}= {k}\circ{h}\circ{g}</math> и <math>g</math>, <math>h</math>, <math>k</math> — инволюции, то и <math>f</math> — инволюция; например:
-: <math>k(x) = -x</math>, <math>h(x) = \dfrac{x+1}{x-1}</math>, <math>g(x) = \dfrac{1}{x}</math>.
-[[Перестановка]] <math>\tau</math> является инволюцией, если <math>\tau\circ\tau=id</math>, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:
-: <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2,7)(3,4)(6,8)</math>.
-Число инволюций в [[Группа перестановок|группе перестановок]] порядка <math>n</math> определяется по формулам:
+**Число инволюций в [[Группа перестановок|группе перестановок]] порядка <math>n</math> определяется по формулам:
-* <math> a(0) = 1,\ a(1) = 1,\ a(n) = a(n-1) + (n-1)a(n-2),\ n>1</math> (рекуррентная формула),
+**: <math> a(0) = 1,\ a(1) = 1,\ a(n) = a(n-1) + (n-1)a(n-2),\ n>1</math> (рекуррентная формула),
-* <math>a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!}}</math>,
+**: <math>a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!}}</math>,
-(первые значения <math>a(n)</math>: 1, {{nums|link=nrl|1|2|4|10|26|76|232|764|2620|9496|35696|140152}}<ref>{{OEIS long|A000085|lc=1}}</ref>).
+::(первые значения <math>a(n)</math>: 1, {{nums|link=nrl|1|2|4|10|26|76|232|764|2620|9496|35696|140152}}<ref>{{OEIS long|A000085|lc=1}}</ref>).
-Свойства инволюции обеспечивают ей широкое применение в различных приложения, например, инволютивные преобразования над пространством булевых векторов используются в различных схемах построения симметричных [[криптоалгоритм]]ов, таких как [[Сеть Фейстеля|сети Фейстеля]] и [[SP-сеть|подстановочно-перестановочные сети]].
 == Примечания ==

Инволюция (математика): различия между версиями

Текущая версия от 15:43, 9 марта 2023

Содержание

Определение

Свойства

Примеры

Примечания

Навигация

Инволюция (математика): различия между версиями

Текущая версия от 15:43, 9 марта 2023

Определение

Свойства

Примеры

Примечания

Навигация

Поиск