Аксиоматика Бахмана

Аксиоматика Бахмана — система аксиом нейтральной и Евклидовой геометрий, построенная на понятии групп движений. Предложенная Фридрихом Бахманом.^[1]

Обозначения

Переместительность двух элементов в группе, то есть выполнение тождества $a\cdot b=b\cdot a$ будет обозначаться $a|b$ ; при этом $a,b|c,d$ означает одновременное выполнение $a|c$ , $a|d$ , $b|c$ и $b|d$ .

Дана группа ${\mathfrak {G}}$ с выделенной инвариантной системой образующих ${\mathfrak {S}}$ состоящая из инволютивных элементов. Элементы из ${\mathfrak {S}}$ обозначаются малыми латинскими буквами. Те инволютивные элементы из ${\mathfrak {G}}$ , которые представимы как произведение двух элементов из ${\mathfrak {S}}$ (то есть элементы вида $a\cdot b$ , где $a,b\in {\mathfrak {S}}$ ) обозначаются большими латинскими буквами.

Нейтральная геометрия

Аксиома 1. Для любых $P$ , $Q$ найдется $g$ такой, что $P,Q|g$ .

Аксиома 2. Из $P,Q|g,h$ следует, что $P=Q$ или $g=h$ .

Аксиома 3. Если $a,b,c|P$ , то существует элемент $d$ такой,что $a\cdot b\cdot c=d$ .

Аксиома 4. Если $a,b,c|g$ , то существует элемент $d$ такой,что $a\cdot b\cdot c=d$ .

Аксиома D. Существуют $g,h,j$ такие, что $g|h$ , и не имеет места ни одно из соотношений $j|g$ , $j|h$ , $j|g\cdot h$ .

Связь с обычными аксиомами

Этой системе аксиом удовлетворяют группы евклидовой и неевклидовых плоскостей, если принять за ${\mathfrak {S}}$ множество осевых симметрии. При этом те инволютивные элементы группы, которые представимы как произведение двух элементов из ${\mathfrak {S}}$ , окажутся при этом центральными симметриями.

Таким образом множество ${\mathfrak {S}}$ можно отождествить с множеством прямых на плоскости, а множество инволютивных элементов группы представимых как произведение двух элементов из ${\mathfrak {S}}$ с множеством точек.

При этом,

соотношение $P|a$ означает то что точка $P$ лежит на прямой $a$ .
соотношение $a|b$ $a|b$ означает то что прямая $a$ $a$ перпендикулярна прямой $b$ $b$ ;
- в этом случае $P=a\cdot b$ есть точка пересечения $a$ и $b$ .