Псевдодополнение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Bezik (обсуждение | вклад) как у Биркгофа |
Bezik (обсуждение | вклад) м якорь, оформление |
||
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Псевдодополнение''' в [[Теория решеток|теории решёток]] — [[бинарная операция]] в [[Решётка (алгебра)|решётке]], определяемая для элементов решётки <math>a</math> и <math>b</math> как наибольший элемент <math>c</math> такой, что <math>a \land c \leqslant b</math>; обозначение — <math>a \to b</math>, прочтение — « |
'''Псевдодополнение''' в [[Теория решеток|теории решёток]] — [[бинарная операция]] в [[Решётка (алгебра)|решётке]], определяемая для элементов решётки <math>a</math> и <math>b</math> как наибольший элемент <math>c</math> такой, что <math>a \land c \leqslant b</math>; обозначение — <math>a \to b</math>, прочтение — «псевдодополнение <math>a</math> относительно <math>b</math>». '''''Импликативная решётка''''' (или ''брауэрова решётка'') — решётка, в которой для каждых двух элементов существует псевдодополнение. |
||
Аксиоматически, импликативная решётка получается присоединением к аксиомам решётки следующих соотношений: |
Аксиоматически, импликативная решётка получается присоединением к аксиомам решётки следующих соотношений: |
||
: <math>\forall a,b : a \land (a \to b) \leqslant b</math>, |
|||
: <math>\forall a,b,c : a \land c \leqslant b \Rightarrow c \leqslant (a \to b)</math>. |
|||
Для импликативных решёток с нулём вводится также [[унарная операция]] (абсолютного) псевдодополнения: <math>^\sim a = a \to 0</math>; в этом случае, бинарное псевдодополнение называется ''относительным псевдодополнением''. |
{{якорь|Абсолютное псевдодополнение}}Для импликативных решёток с нулём вводится также [[унарная операция]] (абсолютного) псевдодополнения: <math>^\sim a = a \to 0</math>; в этом случае, бинарное псевдодополнение называется ''относительным псевдодополнением''. |
||
Импликативные решётки образуют [[многообразие алгебраических систем|многообразие]]. Важнейшие специальные классы импликативных решёток — |
Импликативные решётки образуют [[многообразие алгебраических систем|многообразие]]. Важнейшие специальные классы импликативных решёток — [[Алгебра Гейтинга|алгебры Гейтинга]] и [[Булева алгебра|булевы алгебры]], используемые в качестве моделей [[Интуиционистское исчисление высказываний|интуиционистского]] и [[Классическая логика|классического]] исчисления высказываний соответственно. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
Строка 17: | Строка 17: | ||
Для всех элементов <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> всякой импликативной решётки верны следующие утверждения: |
Для всех элементов <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> всякой импликативной решётки верны следующие утверждения: |
||
: <math>a \leqslant b \Rightarrow b \to c \leqslant a \to c</math>; |
|||
: <math>a \leqslant b \Rightarrow c \to a \leqslant c \to b</math>; |
|||
: <math>a \leqslant b \to c \Rightarrow a \land b \leqslant c</math>; |
|||
: <math>a \to b = 1 \Leftrightarrow a \leqslant b</math>; |
|||
: <math>b \leqslant a \to b</math>; |
|||
: <math>a \to b \leqslant ((a \to (b \to c)) \to (a \to c))</math>; |
|||
: <math>a \leqslant b \to a \land b</math>; |
|||
: <math>a \to c \leqslant (b \to c) \to (a \lor b \to c)</math>. |
|||
Эти утверждения используются при доказательстве того, что алгебры Гейтинга являются [[модель исчисления|моделями]] [[интуиционистское исчисление высказываний|интуиционистского исчисления высказываний]]. |
Эти утверждения используются при доказательстве того, что алгебры Гейтинга являются [[модель исчисления|моделями]] [[интуиционистское исчисление высказываний|интуиционистского исчисления высказываний]]. |
||
Текущая версия от 21:45, 12 июля 2024
Псевдодополнение в теории решёток — бинарная операция в решётке, определяемая для элементов решётки и как наибольший элемент такой, что ; обозначение — , прочтение — «псевдодополнение относительно ». Импликативная решётка (или брауэрова решётка) — решётка, в которой для каждых двух элементов существует псевдодополнение.
Аксиоматически, импликативная решётка получается присоединением к аксиомам решётки следующих соотношений:
- ,
- .
Для импликативных решёток с нулём вводится также унарная операция (абсолютного) псевдодополнения: ; в этом случае, бинарное псевдодополнение называется относительным псевдодополнением.
Импликативные решётки образуют многообразие. Важнейшие специальные классы импликативных решёток — алгебры Гейтинга и булевы алгебры, используемые в качестве моделей интуиционистского и классического исчисления высказываний соответственно.
Свойства
[править | править код]Импликативные решётки являются полугруппами с делением, в которых левому и правому делению и соответствует одна операция .
Всякая импликативная решётка дистрибутивна; каждая конечная дистрибутивная решётка — импликативна.
Во всякой импликативной решётке имеется максимальный элемент (), обычно обозначаемый как 1; минимальный элемент в общем случае может не существовать, если он существует — то импликативная решётка образует алгебру Гейтинга.
Для всех элементов , и всякой импликативной решётки верны следующие утверждения:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Эти утверждения используются при доказательстве того, что алгебры Гейтинга являются моделями интуиционистского исчисления высказываний.
Подмножество импликативной решётки является её фильтром тогда и только тогда, когда и ; если — фильтр, то факторрешётка импликативна, а класс — её максимальный элемент.
Литература
[править | править код]- В. Е. Плиско, В. Х. Хаханян. Интуиционистская логика. — М.: Изд-во при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. — 159 с.