Полугруппа с делением

Полугруппа с делением — упорядоченная полугруппа $(S,\cdot ,\leqslant )$, в которой для любых двух элементов $a$ и $b$ определены правое ($a/b$) и левое ($b\backslash a$) частные, причём выполняются условия:

$\forall c\in S\quad c\leqslant a/b\Leftrightarrow c\cdot b\leqslant a$ (правое; читается «$a$ над $b$»);

$\forall c\in S\quad c\leqslant b\backslash a\Leftrightarrow b\cdot c\leqslant a$ (левое; читается «$b$ под $a$»).

Правое и левое частные для каждых двух элементов определяются однозначно; если полугруппа коммутативна, то правое и левое частные совпадают.

Примеры:

• натуральные числа с операцией сложения: $(\mathbb {N} ,+,\geqslant )$;
• любая импликативная решётка: здесь псевдодополнение играет роль как правого, так и левого частного;
• множество всех подмножеств частично упорядоченной полугруппы $S$ с операцией $\cdot :A\cdot B={\Bigl \{}a\cdot b\mid a\in A,b\in B{\Bigr \}}$, здесь $A/B={\Bigl \{}c\in S\mid \{c\}\cdot B\subseteq A{\Bigr \}}$ (левое — аналогично).

Литетатура

• Упорядоченная полугруппа — статья из Математической энциклопедии. Л. Н. Шеврин
• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.