Липшицево отображение

Липшицево отображение — отображение $f\colon X\to Y$ между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение $f$ метрического пространства $(X,\;\rho _{X})$ в метрическое пространство $(Y,\;\rho _{Y})$ называется липшицевым, если найдётся некоторая константа $L$ (константа Липшица этого отображения), такая, что

$\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$

при любых $x,\;y\in X$. Это условие называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также $L$-липшицевым.
  • 1-липшицево отображение называют также коротким отображением.
• Нижняя грань чисел $L$, удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения $f$.
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-1}\colon Y\to X$ и оба $f$ и $f^{-1}$ являются липшицевыми.
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется колипшицевым, если существует константа $L$, такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что

  $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x').$

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:

$\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta .$

История

Отображения со свойством

$|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|x-y|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ — условием Гёльдера.

См. также

• Показатель Гёльдера