Мнимая единица

$i$ на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел.

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская $i$ или $j$. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение $f(x)=0$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение $x^{2}+1=0$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «−i» и «−i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для $i$ через радикал (как ${\sqrt {-1}}$).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. $i$  — это одно из решений уравнения

$x^{2}+1=0,$   или   $x^{2}=-1.$

И тогда его вторым решением будет $-i$, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени $i$ повторяются в цикле:

$\ldots$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$\ldots$

Что может быть записано для любой степени в виде:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i.$

где n — любое целое число.

Отсюда: $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$ где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число $i^{i}$ является вещественным:

$i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots$.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: $x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)$ является многозначной функцией, поэтому

$i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}$, где $n\in \mathbb {Z}$.

Также верно, что $(-i)^{(-i)}=i^{i}$.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

Также

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....$

Корни из мнимой единицы

Основная статья: Корень (математика)

Корни квадратные из мнимой единицы

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

$u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

В частности, ${\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ и ${\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

$u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Иные мнимые единицы

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения $x^{2}=-1$.

Также «мнимая единица» - одно из произведений группы «Научно-технический рэп».

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение $i$, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать $j$, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: $i=i(t)$.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I.

См.также

• Дуальные числа и Двойные числа
• Комплексный анализ
• Кватернион
• Гиперкомплексное число

Ссылки

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.