Процедура Кэли — Диксона

Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).

Свойства алгебр Кэли — Диксона
Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Свойства умножения				Отсутствие нетрив. делителей нуля
Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Коммута- тивность	Ассоциа- тивность	Альтерна- тивность	Степенная ассоциа- тивность	Отсутствие нетрив. делителей нуля
Действитель- ные числа ( $\mathbb {R}$ )	1	Да	Да	Да	Да	Да	Да
Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ )	2	Нет	Да	Да	Да	Да	Да
Кватернионы ( $\mathbb {H}$ )	4	Нет	Нет	Да	Да	Да	Да
Октонионы ( $\mathbb {O}$ )	8	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Да
Седенионы ( $\mathbb {S}$ )	16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет
	> 16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет

Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению^[1] являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.

В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности^[2]^:45.

Общий случай

Если для некоторых чисел $a$ и $b$ существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как $\ |a|^{2}=a{\bar {a}}$ (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел $(a,b)$ :

$(a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ — закон умножения пар,

${\overline {(a,b)}}=({\bar {a}},-b)$ — сопряжённая пара.

Свойства

(расширенная) норма упорядоченной пары:

|(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)=(a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2}+|b|^{2}

— равна нулю только при a = b = 0.

Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление $\ r/q$ определяется как ${\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2}}}$ или ${\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2}}}$ — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

Если для чисел выполняется $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a}},$ это выполняется и для упорядоченных пар:

{\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{\bar {c}})=({\bar {c}},-d)({\bar {a}},-b)={\overline {(c,d)}}\cdot {\overline {(a,b)}}.

Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:

|rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)}}=(rq)({\bar {q}}{\bar {r}})=r(q{\bar {q}}){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.

Ослабляемые

Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т. к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения

Комплексные числа

Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы

Произвольный кватернион $\ q=a+bi+cj+dk$ можно представить в виде $\ q=(a+bi)+(c+di)j$ или, эквивалентно, $\ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,$ где $\ z_{1},z_{2}$ — комплексные числа, поскольку $\ i^{2}=-1$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а $k=i\cdot j$ .

Возьмём ещё один кватернион $\ r=w_{1}+w_{2}j.$ Перемножив и раскрыв скобки (т. к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:

\ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+z_{2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.

Поскольку $\ zj=j{\bar {z}},\;zw=wz,$ то, переставляя множители, получим: $\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2}}}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar {w_{1}}})j.$

Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида $\ z_{1}+z_{2}\cdot j$ , удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т. е. кватернионов с $z_{2}=w_{2}=0$ ).

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять^[3] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут даже возникнуть и нетривиальные делители нуля. (См. напр. Тригинтадуонионы, так получаемые из Седенионов)

Примечания

↑ Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа (рус.). — Москва: Наука, 1973. — С. 33—34. — 144 с.
↑ Schafer, Richard D. (1995) [1966], An introduction to non-associative algebras, Dover Publications, ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601
↑ Альберт, Абрахам Адриан. Quadratic forms permitting composition. Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

Ссылки

Dickson, L. E. [in английский] (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series, 20 (3), Annals of Mathematics: 155—171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»

[Kantor_ru-1] Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа (рус.). — Москва: Наука, 1973. — С. 33—34. — 144 с.

[Sch66-2] Schafer, Richard D. (1995) [1966], An introduction to non-associative algebras, Dover Publications, ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601

[3] Альберт, Абрахам Адриан. Quadratic forms permitting composition. Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

[1]

[2]

[3]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Целые ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Гиперболические числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион

Процедура Кэли — Диксона

Содержание

Общий случай