p-адическое число

p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году.

Поле p-адических чисел обычно обозначается $\mathbb {Q} _{p}$ или $\mathbf {Q} _{p}$.

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность $x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}$ вычетов $x_{n}$ по модулю $p^{n}$, удовлетворяющих условию:

$x_{n}\equiv x_{n+1}{\pmod {p^{n}}}.$

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается $\mathbb {Z} _{p}$.

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых $p$-адических чисел определяется как предел

$\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$

колец $\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ вычетов по модулю $p^{n}$ относительно естественных проекций $\mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа $p$, но и любого составного числа $m$ — получится т. н. кольцо $m$-адических чисел, но это кольцо в отличие от $\mathbb {Z} _{p}$ обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в $\mathbb {Z} _{p}$ очевидным образом: $x=\{x,x,\ldots \}$ и являются подкольцом.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число $a_{n}=x_{n}\,{\bmod {\,}}{p^{n}}$ (таким образом, $0\leq a_{n}<p^{n}$), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде $x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое $a_{n}$ в p-ичной системе счисления $a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}$ и, учитывая, что $a_{n}\equiv a_{n+1}{\pmod {p^{n}}}$, возможно всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде $x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\ldots \}$ или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления $x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}$. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных $\mathbb {Q} _{p}$ кольца $\mathbb {Z} _{p}$ целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p, обратимо в кольце $\mathbb {Z} _{p}$, а кратное p однозначно записывается в виде $xp^{n}$, где x не кратно p и поэтому обратимо, а $n>0$. Поэтому любой ненулевой элемент поля $\mathbb {Q} _{p}$ может быть записан в виде $xp^{n}$, где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности $x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1},b_{0}b_{-1}\ldots b_{n+1}\}$, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число $r$ можно представить как $r=p^{n}{\frac {a}{b}}$ где $a$ и $b$ целые числа, не делящиеся на $p$, а $n$ — целое. Тогда $|r|_{p}$ — $p$-адическая норма $r$ — определяется как $p^{-n}$. Если $r=0$, то $|r|_{p}=0$.

Поле $p$-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой $d_{p}$, определённой $p$-адической нормой: $d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}$. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма $|r|_{p}$ продолжается по непрерывности до нормы на $\mathbb {Q} _{p}$.

Свойства

• Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

$x=\sum _{i=n_{0}}^{\infty }a_{i}p^{i}$

где $n_{0}$ — некоторое целое число, а $a_{i}$ — целые неотрицательные числа, не превосходящие $p-1$. А именно, в качестве $a_{i}$ здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике $d_{p}$ к самому $x$.

• p-адическая норма $|x|_{p}$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника

$|x-z|_{p}\leq \max \left\{|x-y|_{p},|y-z|_{p}\right\}.$

• Числа $x\in \mathbb {Q} _{p}$ с условием $|x|_{p}\leq 1$ образуют кольцо $\mathbb {Z} _{p}$ целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ в норме $|x|_{p}$.
• Числа $x\in \mathbb {Q} _{p}$ с условием $|x|_{p}=1$ образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
• Совокупность чисел $x\in \mathbb {Q} _{p}$ с условием $|x|_{p}<1$ является главным идеалом в $\mathbb {Z} _{p}$ с образующим элементом p.

• Метрическое пространство $(\mathbb {Z} _{p},d_{p})$ гомеоморфно канторову множеству, а пространство $(\mathbb {Q} _{p},d_{p})$ гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
• Для различных p нормы $|x|_{p}$ независимы, а поля $\mathbb {Q} _{p}$ неизоморфны.
• Для любых элементов $r_{\infty }$, $r_{2}$, $r_{3}$, $r_{5}$, $r_{7}$, … таких, что $r_{\infty }\in \mathbb {R}$ и $r_{p}\in \mathbb {Q} _{p}$, можно найти последовательность рациональных чисел $x_{n}$ таких, что для любого p выполнено $|x_{i}-r_{p}|_{p}\to 0$ и $|x_{i}-r_{\infty }|\to 0$.

Применения

• Если $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех $k$ сравнения

$F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$

эквивалентна разрешимости уравнения

$F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0$

в целых $p$-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях $p$-адических чисел при всех $p$, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых $p$-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений $k$. Например, согласно лемме Гензеля, при $n=1$ достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных $k$ служит наличие простого решения у сравнения по модулю $p$ (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю $p$). Иначе говоря, при $n=1$ для проверки наличия корня у уравнения в целых $p$-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при $k=1$.

• $p$-адические числа находят широкое применение в теоретической физике. Известны $p$-адические обобщённые функции, p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова), p-адическая квантовая механика, p-адическая спектральная теория, p-адическая теория струн

См. также

• Автоморфное число
• Локальное поле

Литература

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
• Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю. 2-адические числа // Квант. — 1979. — № 2. — С. 26—31.
• Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна