Гипервещественное число

Гипервещественные числа (гипердействительные числа) — расширение поля вещественных чисел $\mathbb {R}$, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы $1+1+\cdots +1$.

Термин «гипервещественное число» (англ. hyper-real number) был предложен американским математиком Эдвином Хьюиттом в 1948 году. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом». Робинсон также доказал непротиворечивость этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).

Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть $dV$ — (бесконечно малый) элемент объёма…».

Формальное определение

Множество гипервещественных чисел $^{*}\mathbb {R}$ представляет собой неархимедово упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел $\mathbb {R}$, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы $1+1+\cdots +1$. Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало́.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического принципа непрерывности Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об $\mathbb {R}$ справедливы и для $^{*}\mathbb {R}$. Например, правило коммутативности сложения $x+y=y+x$ справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления метод исчерпывания. В 1961 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества (упорядоченного неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной $f(x)$ из аналитического становится чисто арифметическим:

$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$

для бесконечно малого $\Delta x$, где $\operatorname {st}$ означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел

Поле гипервещественных чисел $^{*}\mathbb {R}$ состоит из трёх частей:

• отрицательные бесконечные числа,
• конечные числа,
• положительные бесконечные числа.

Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и нестандартные. Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде: $a+\epsilon ,$ где $a$ — вещественное число, а $\epsilon$ — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При $a=0$ получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой (монадой) своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близких.

Алгебраическая структура

Положим, что $X$ является тихоновским пространством, которое также называется $T_{3.5}$-пространством, а $C(X)$ — алгебра непрерывных вещественных функций на $X$. Пусть $M$ есть максимальный идеал в $C(X)$. Тогда факторкольцо $A=C(X)/M$, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как линейно упорядоченное множество. Если $F$ строго содержит $\mathbb {R}$, то $M$ называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а $F$ — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля $F$ больше, чем у поля $\mathbb {R}$, они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство $X$ является дискретным пространством, в этом случае $X$ можно отождествить с мощностью множества $\kappa$, и $C(X)$ с вещественной алгеброй $\mathbb {R} ^{\kappa }$ функций $\kappa$ от $\mathbb {R}$. Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями $\mathbb {R}$ и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

Литература

• Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. — Новосибирск: Институт математики, 2006.
• Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. — М.: Мир, 1980.
• Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М.: Наука, 1987.