Липшицево отображение

Липшицево отображение (липшицевское отображение) — отображение $f\colon X\to Y$ между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение $f$ метрического пространства $(X,\;\rho _{X})$ в метрическое пространство $(Y,\;\rho _{Y})$ называется липшицевым, если найдётся некоторая константа $L$ (константа Липшица этого отображения), такая, что $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ при любых $x,\;y\in X$, это условие называют условием Липшица. Отображение с $L=1$ (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Отображение $f\colon X\to Y$ называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-1}\colon Y\to X$ и оба $f$ и $f^{-1}$ являются липшицевыми.

Отображение $f\colon X\to Y$ называется колипшицевым, если существует константа $L$, такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$.

Отображения со свойством:

$|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|x-y|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ — условием Гёльдера.

Свойства

Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

Непрерывно дифференцируемая функция на компакте удовлетворяет условию Липшица (лемма о липшицевости).

Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так: $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$.

Лемма о липшицевости

Теорема, утверждающая что из существования непрерывной производной непрерывной функции по некоторой переменной следует, что эта функция удовлетворяет условию Липшица по этой переменной. Обратное утверждение неверно. Из липшицевости функции по некоторой переменной не следует существование производной по этой переменной.

Формулировка

Пусть функция двух переменных $f(x,\;y)$, заданная в открытой области $G=\left\{(x,\;y),\;a<x<b,\;c<y<d\right\}$, непрерывна и обладает непрерывной производной ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ в $G$. Тогда на любом ограниченном подмножестве $M$ из $G$, замыкание которого принадлежит $G$, функция $f(x,\;y)$ удовлетворяет условию Липшица: $\left|f(x,\;y_{1})-f(x,\;y_{2})\right|\leqslant L\left|y_{1}-y_{2}\right|,\ (x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})\in M$, где постоянная $L$ зависит, вообще говоря от $M$.

Доказательство

Возьмём в качестве $M$ прямоугольник $P=\left\{(x,\;y)\colon \left|x-x_{0}\right|\leqslant a,\ \left|y-y_{0}\right|\leqslant b\right\}$ с центром в точке $(x_{0},\;y_{0})$, целиком содержащийся в области $G$. Тогда по теореме Лагранжа о среднем для любых точек $(x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})\in P\colon \left|f(x,\;y_{1})-f(x,\;y_{2})\right|=\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;\eta )\right|\cdot \left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant L\left|y_{1}-y_{2}\right|$, где $L=\max _{(x,\;y)\in P}\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|$.

По существу, так же проходит доказательство, если в качестве $M$ взять ограниченную открытую подобласть $G'$ области $G$, выпуклую относительно $y$, замыкание которой принадлежит $G\colon {\bar {G'}}\subset G$. Выпуклость $G'$ относительно $y$ означает, что если точки $(x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})$ принадлежат $G'$, то точка $(x,\;\eta )$, где $\eta$ — число, промежуточное между $y_{1}$ и $y_{2}$, также принадлежит $G'$. Поэтому можно вновь применить теорему Лагранжа о среднем.