Липшицево отображение

Липшицево отображение (липшицевское отображение) — отображение увеличивающее расстояния не более, чем в некоторую константу раз.

Определение

А именно, отображение $f$ метрического пространства $(X,\;\rho _{X})$ в метрическое пространство $(Y,\;\rho _{Y})$ называется липшицевым, если найдётся некоторая константа $L$ (константа Липшица этого отображения), такая, что $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ при любых $x,\;y\in X$, это условие называют условием Липшица. Отображение с $L=1$ (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Отображение $f\colon X\to Y$ называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-1}\colon Y\to X$ и оба $f$ и $f^{-1}$ являются липшицевыми.

Отображение $f\colon X\to Y$ называется колипшицевым, если существует константа $L$, такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$.

История

Отображения со свойством:

$|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|x-y|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ — условием Гёльдера.

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

• Непрерывно дифференцируемая функция на компакте удовлетворяет условию Липшица (лемма о липшицевости). Обратное утверждение не верно.

• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так: $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$.
• Показатель Гёльдера