Теорема Морли о трисектрисах

Теорема Морли, или теорема Морлея о трисектрисах — одна из интереснейших теорем геометрии треугольника. Трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части.

Формулировка

Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника.

Замечания

На чертеже три разноцветных угла при каждой вершине большого треугольника равны. Независимо от выбора большого треугольника маленький фиолетовый треугольник будет равносторонним.

История

Теорема была открыта в 1904 году Фрэнком Морли в связи с изучением свойств кубических кривых. Тогда он упомянул об этой теореме своим друзьям, а опубликовал её двадцать лет спустя в Японии. За это время она была независимо опубликована как задача в журнале Educational Times.

Вариации и обобщения

• На описанной окружности треугольника $ABC$ существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника $ABC$, причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.

• Если рассмотреть также внешние трисектрисы (то есть трисектрисы внешних углов треугольника), то среди точек пересечения этих 12 прямых существует 27 троек точек, образующих правильные треугольники.

• Центр равностороннего треугольника Морли называется первым центром Морли исходного треугольника.

• Равносторонний треугольник Морли перспективен исходному треугольнику; центр перспективы называется вторым центром Морли.

См. также

• Трисекция угла — задача о построении трисектрис угла с помощью циркуля и линейки