Инволюция (математика)

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция нетождественное отображение.

Определение

Функция $f\colon X\to X$ называется инволюцией, если $f(f(x))=x$ для всякого $x\in X$.

Свойства

• Любая инволюция — это биекция.

• Композиция ${f}\circ {g}$ двух инволюций $f$ и $g$ является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: ${f}\circ {g}=g\circ f$.

Примеры

• $f(x)=-x$, заданная на множестве целых $\mathbb {Z}$, рациональных $\mathbb {Q}$ или вещественных чисел $\mathbb {R}$;
• простейшие инволюции на множестве вещественных чисел $\mathbb {R}$:

  ${\dfrac {a}{x}}$, $a-x$, ${\dfrac {x}{x-1}}$, ${\dfrac {x-1}{x}}$, ${\dfrac {x+1}{x-1}}$, ${\dfrac {x-1}{x+1}}$, ${\dfrac {ax+b}{cx-a}}$;

• $f(x)={\bar {x}}$ — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества $U$;
• $f(x)=\neg x$ — логическое отрицание булевой алгебры;
• Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
  • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
• инверсия;
• комплексное сопряжение;
• преобразование Лежандра
• Перестановка $\tau$ является инволюцией, если $\tau \circ \tau =id$, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

  ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&7&4&3&1&8&2&6\end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$.

  • Число инволюций в группе перестановок порядка $n$ определяется по формулам:

    $a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$ (рекуррентная формула),

    $a(n)=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {n!}{2^{k}\cdot (n-2k)!\cdot k!}}$,

(первые значения $a(n)$: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152).