Методы интегрирования

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл $\int F(x)dx.$ Сделаем подстановку $x=\varphi (t),$ где $\varphi (t)$ — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда $dx=\varphi '(t)\cdot dt$ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

$\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.$

Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида $v(u(x))$ интегрируется следующим образом:

$\int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx}}=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x}}}.$

Пример: Найти $\int x{\sqrt {x-3}}\,dx$

Решение: Пусть ${\sqrt {x-3}}=t$, тогда $x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt$.

$\int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2})dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C$

Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля

$t={d({\sqrt {x^{2}+px+q}}) \over dx},$

применяемая для вычисления интегралов вида

$\int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2}},$

где m натуральное число. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Пусть требуется проинтегрировать выражение $R(\sin x,\cos x)$, где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

• если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$, то применяется подстановка $t=\cos x$;
• если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$, то применяется подстановка $t=\sin x$;
• если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$, то применяется подстановка $t=\operatorname {tg} x$.

Частный случай этого правила:

$\int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx$

Выбор подстановки производится следующим образом:

• если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку $\cos x=t$;
• если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку $\sin x=t$;
• если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку $\operatorname {tg} x=t$.

Пример: $I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx$.

Решение: Пусть $\sin x=t$; тогда $\cos x\cdot dx=dt$ и $I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C$, где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального бинома

Основная статья: Дифференциальный бином

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

$I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,$

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

• $p$ — целое число. Используется подстановка $x=t^{k}$, $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$;
• ${\frac {m+1}{n}}$ — целое число. Используется подстановка $a+bx^{n}=t^{s}$, $s$ — знаменатель дроби $p$.
• $p+{\frac {m+1}{n}}$ — целое число. Используется подстановка $ax^{-n}+b=t^{s}$, $s$ — знаменатель дроби $p$.

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях.

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.$

Или:

$\int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.$

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

$\int P_{n+1}(x)e^{x}\,dx,$

где $P_{n+1}(x)$ — многочлен $(n+1)$-й степени.

Пример: Найти интеграл $\int x\cdot \ln x\,dx$.

Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что $u=\ln x\Rightarrow \displaystyle {du={\frac {dx}{x}}}$ и $dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}$, тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем $\int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

Интегрирование рациональных дробей

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь ${\tfrac {P(x)}{Q(x)}}$, знаменатель которой разложен на множители

$Q(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{k_{i}}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{s_{j}}$

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k_{n}}{\frac {A_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}}}+\sum _{l=1}^{m}{\sum _{t=1}^{s_{m}}{\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x}{(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{t}}}}$

где $A_{ij},\alpha _{lt},\beta _{lt}$ — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример: $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.$

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)}}={\frac {\alpha }{(x-3)}}+{\frac {\beta }{(x+3)}}$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

$\alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

Следовательно ${\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases}},{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2}}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}$

Тогда

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {\frac {3}{2}}{x-3}}+{\frac {\frac {1}{2}}{x+3}}$

Теперь легко вычислить исходный интеграл $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2}}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C$

Интегрирование элементарных функций

Основная статья: Алгоритм Риша

Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.

См. также

• Символьное интегрирование
• Формулы Фруллани
• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Подстановки Эйлера

Ссылки

• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов