Внутренность

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Внутренность множества $A$ обычно обозначается как $\operatorname {Int} (A)$, $\operatorname {int} (A)$ или ${\overset {\circ }{A}}$.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}}),$ где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество $A\subset X$.

Ниже рассматривается открытость подмножеств $B\subset A$ как подмножеств всего $X$ (например, $A$ обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом $X$ явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность ${\mathcal {T}}$.

Тогда внутренность множества $A$ можно определить несколькими эквивалентными способами:

• Внутренность — объединение всех открытых подмножеств $B\subset A$:

  $\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T}},\;B\subset A}B$.

• Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество $A$:

  $(\operatorname {int} (A)\in {\mathcal {T}})\wedge (\operatorname {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;((B\in {\mathcal {T}})\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \operatorname {int} (A)))$.

Точка $x$ — внутренняя, а точка $y$ — не внутренняя (в данном случае — граничная)

• Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка $x\in A$ называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество $B\subset A$, такое что $x\in B$:

  $\operatorname {int} (A)=\left\{x\in A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T}}\right\}$.

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Свойства

• Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств $X$.
• Внутренность $\operatorname {int} (A)$ — открытое множество.
• Множество $A$ открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:

  $(A\in {\mathcal {T}})\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)$.

  • Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
• Операция внутренности идемпотентна:

  $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$.

• Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:

  $(A\subset B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subset \operatorname {int} (B)\right)$.

• В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$, и $M$ — его подмножество. Точка $x\in M$ является внутренней для $M$ тогда и только тогда, когда существует $\varepsilon >0$, такое что $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$. Иначе говоря, $x$ входит в $M$ вместе с шаром радиуса $\varepsilon$ с центром в $x$.

Примеры

• $\operatorname {int} (\emptyset )=\emptyset .$
• Если $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то $\operatorname {int} (A)=\emptyset$.
• Если $X=\mathbb {R}$ — вещественная прямая со стандартной топологией, и $[a,b]\subset \mathbb {R}$, то $\operatorname {int} ([a,b])=(a,b).$
• Если $X$ — дискретное пространство, то для любого $A\subset X$ имеем $\operatorname {int} (A)=A$.

Вариации

Относительная внутренность

Основная статья: Относительная внутренность

Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

Квазотносительная внутренность

Основная статья: Квазотносительная внутренность

Алгебраическая внутренность

Основная статья: Алгебраическая внутренность

Литература

• Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.

См. также

• Внешность
• Граница
• Замыкание
• Изолированная точка
• Открытое множество
• Предельная точка
• Словарь терминов общей топологии
• ε-окрестность