Список интегралов элементарных функций

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от $e^{x^{2}}$ не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в статье список интегралов.

$C$ использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Интегралы простых функций

Рациональные функции

Основная статья: Список интегралов от рациональных функций

$~\int \!0\,dx=C$

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle ~\int\!a\,dx = ax +C, a=const}

$~\int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,\,n\neq -1$

$\int \!{\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}+C$

$\int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right|+C$

Логарифмы

Основная статья: Список интегралов от логарифмических функций

$\int \!\ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \!\log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

$\int {dx \over x}\,=\ln \left|x\right|+C$

$\int {dx \over {\sqrt {x}}}\,=2{\sqrt {x}}+C$

Экспоненциальные функции

Основная статья: Список интегралов от экспоненциальных функций

$\int \!e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int \!a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

Иррациональные функции

Основная статья: Список интегралов от иррациональных функций

$\int \!{dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C$

$\int \!{-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C$

$\int \!{dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\,\operatorname {arcsec} \,{|x| \over a}+C$

$\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\right|+C$

$\int \!{dx \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} \,x+C$

$\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C$

Тригонометрические функции

Основные статьи: список интегралов от тригонометрических функций и список интегралов от обратных тригонометрических функций

$\int \!\sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \!\cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \!\sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} \,{x}\right|}+C$

$\int \!\csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+C$

$\int \!\sec ^{2}x\,dx=\operatorname {tg} \,x+C$

$\int \!\csc ^{2}x\,dx=-\operatorname {ctg} \,x+C$

$\int \!\sec {x}\,\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \!\csc {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \!\sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \!\cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \!\sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \!\cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \!\operatorname {arctg} \,{x}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left(1+x^{2}\right)}+C$

Гиперболические функции

Основная статья: список интегралов от гиперболических функций

$\int \operatorname {sh} \,x\,dx=\operatorname {ch} \,x+C$

$\int \operatorname {ch} \,x\,dx=\operatorname {sh} \,x+C$

$\int \operatorname {th} \,x\,dx=\ln |\operatorname {ch} \,x|+C$

$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} \,{x \over 2}\right|+C$

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,(\operatorname {sh} \,x)+C$

также $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,(e^{x})+C$

также $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C$

$\int \operatorname {cth} \,x\,dx=\ln |\operatorname {sh} \,x|+C$

Доказательства

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan(\operatorname {sh} \,x)+C$ выполним проверкой:

$\left(\operatorname {arctg} (\operatorname {sh} \,x\right)+C)'={\frac {\operatorname {ch} \,x}{\operatorname {sh} ^{2}\,x+1}}={\frac {\operatorname {ch} \,x}{\operatorname {ch} ^{2}\,x-1+1}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\operatorname {sech} \,x$.

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$ выполним проверкой:

$\left(2\operatorname {arctg} (e^{x})+C\right)'={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\operatorname {sech} \,x$.

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C$ выполним проверкой:

$\left(2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C\right)'={\frac {\operatorname {sech} ^{2}{\frac {x}{2}}}{\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}+1}}={\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}+\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\operatorname {sech} \,x$.

Литература

• Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.: Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
• Двайт Г.Б. Таблицы интегралов (5-е издание). М.: Наука, 1977.

Ссылки

• Интегралы на EqWorld
• Расширенная таблица интегралов
• Онлайн калькулятор интегралов