Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829—1900),

Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации.

Символы Кристоффеля появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода $\Gamma _{ij}^{k}$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ по базису:

$\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}$

Символы Кристоффеля первого рода $\Gamma _{n,ij}^{}$

$\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right)$

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивита для карты $x^{i}$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть

$\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.$

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора $g_{ik}\$ равна нулю:

$\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }=0.\$

Для сокращения записи символ набла $\nabla$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая ", " в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

$\,g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }=0.\$

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

$\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),\$

где $g^{ij}\$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к $g_{ij}\$, находится путём решения системы линейных уравнений $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\$.

Связь с безындексными обозначениями

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами $X^{i}\$ и $Y^{k}\$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

$\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).\$

Условие отсутствия кручения у связности, :$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]\$, эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

$\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.$

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных $(x^{1},...,x^{n})\$ на $(y^{1},...,y^{n})\$, базисные векторы преобразуются ковариантно,

${\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

${\overline {\Gamma ^{k}{}_{ij}}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) $H_{\beta }$, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

$\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-{H_{\beta }}{H_{\gamma }}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}$, при $\beta \neq \gamma$.

$\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }={H_{\beta }}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}$.

Символы Кристоффеля второго рода:

$\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}$, при $\beta \neq \gamma$.

$\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta }}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}$

Ниже приведены значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат $\left\{x,y,z\right\}$: $\Gamma _{ij}^{k}\equiv 0$, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат $\left\{r,\phi ,z\right\}$: $\Gamma _{22}^{1}=-r$, $~\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r}}$. Остальные равны нулю.
• В сферической с.к. $\left\{r,\theta ,\phi \right\}$: $\Gamma _{22}^{1}=-r$, $\Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta$, $~\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$, $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$, $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatorname {ctg} \theta$. Остальные равны нулю.

См. также

• Связность Леви-Чивиты
• Ковариантная производная
• Геодезическая

Другие величины, широко используемые в тензорном анализе

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта Кронекера
• Метрический тензор
• Тензор кривизны

Литература

• Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7.
• Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.