Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Леви-Чиви́ты (или связность, ассоциированная с метрикой) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Определение

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии $M$, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность $\nabla$ на римановом многообразии $(M,g)$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей $X$, $Y$, $Z$ верно

   $X{\big (}g(Y,Z){\big )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),$

   где $X{\big (}g(Y,Z){\big )}$ обозначает производную $g(Y,Z)$ в направлении $X$.
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей $X$ и $Y$

   $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]=0,$,

   где $[X,Y]$ — скобки Ли векторных полей $X$ и $Y$.

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб.: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.