Делимость

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связаное с операцией деления.

Определение

Если для некоторого целого числа $a$ и целого числа $b\neq 0$ существует такое целое число $q$, что $bq=a$, то говорят, что число $a$ делится нацело на $b$. При этом число $b$ называется делителем числа $a$, число $a$ называется кратным числа $b$, а число q называется частным от деления a на b.

Обозначения

• $a\,\vdots \,b$ означает, что $a$ делится на $b$
• $b|a$ означает, что $b$ делит $a$.

Связанные определения

• Натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя (единицу и само себя), называется простым. Все остальные числа (кроме единицы) называются составными.
• Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
• Вне зависимости от делимости целого числа $a$ на целое число $b\neq 0$, число a всегда можно разделить на b с остатком, т.е. представить в виде:

  $a=bq+r$, где $0\leqslant r<|b|$.

В этом соотношении число r называется остатком (от деления a на b), а число r — неполным частным (от деления a на b).

Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.

Свойства

• Любое натуральное число является делителем нуля;
• Единица является делителем любого целого числа;
• Любое натуральное число является делителем самого себя.

Число делителей

Число положительных делителей натурального числа $n$ обычно обозначается $\tau (n)$, является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

$\sum _{n\leq N}\tau (n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O({\sqrt {N}}),$

Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.

См. также

• Деление с остатком
• Признаки делимости
• Модульная арифметика
• Деление (математика)
• Конгруэнтность (алгебра)
• Сравнение по модулю
• Кольцо (математика)