Алгебраическая система

Алгебраическая система (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре — множество $G$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество $G^{n}\to G$. По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

Основные классы алгебраических систем

• Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений.

Группоиды, полугруппы, группы

• Группоид — множество с одной бинарной операцией $\cdot :G\times G\to G$, обычно называемой умножением.
• Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение $x\cdot a=b$ имеет единственное решение для любых $a$ и $b$.
• Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
• Лупа — квазигруппа с единичным элементом $e\in G$, таким, что $a\cdot e=e\cdot a=a$.
• Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$.
• Моноид — полугруппа с единичным элементом.
• Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a⁻¹, такой, что $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$.
• Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, $a\cdot b=b\cdot a$. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

• Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
• Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
• Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.
• Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
• Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
• Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
• Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Алгебры

• Алгебра (линейная) — пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой пространства
• Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
• Алгебра термов
• Коммутативная алгебра
• Градуированная алгебра
• Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым $[a,b]\!$), удовлетворяющим тождеству Якоби $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0\!$
• Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым $[a,b]\!$), удовлетворяющим тождеству Якоби $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0\!$
• Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x\!$
• Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x\!$ и тождеством эластичности: $x(yx)=(xy)x\!$
• Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x\!$
• Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:

  $(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x\!$

• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

• Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
• Булева алгебра.

Литература

• П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
• А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М., Наука, 1970 г., 392 стр. с илл.
• «Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.