Коммутантно-ассоциативная алгебра

Коммутантно-ассоциативная алгебра — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Тождеству коммутантной ассоциативности:

$([A_{1},A_{2}],[A_{3},A_{4}],[A_{5},A_{6}])=0$,

для всех $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\in M$. где $[A,B]=g(A,B)-g(B,A)$ — коммутатор элементов A и B, а $(A,B,C)=g(g(AB),C)-g(A,g(B,C))$ — ассоциатор элементов A, B и C.

2. Условию билинейности:

$g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)$

для всех $A,B,C\in M$ и $a,b\in F$.

Другими словами, алгебра M является коммутантно-ассоциативной, если коммутант, то есть подалгебра алгебры M образованная всеми коммутаторами $[A,B]$, является ассоциативной алгеброй.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования $[A,B]=g(A,B)-g(B,A)$, превращает её в алгебру $M^{(-)}$. При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Валя.

См. также

• Общая алгебра
• Алгебра Мальцева
• Альтернативная алгебра
• Алгебра Валентины
• Группа Ли

Литература

• A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
• V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
• A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0-8284-0168-3 ISBN 978-0-8284-0168-5
• A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
• A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
• A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569–576 (In Russian)
• Schafer, R.D. An Introduction to Nonassociative Algebras (англ.). — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.
• V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» // Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp. 168–178.]
• V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. ISBN 0-444-53091-6 ISBN 978-0-444-53091-2
• Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4