Конец топологического пространства

Концах топологического пространства — грубо говоря компонента связности его «идеальной границы». То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к бесконечности в пространстве.

Добавление точки на каждом конце дает компактификацию исходного пространства, известного как конечная компактификация.

Определение

Пусть X топологическое пространство, и пусть

$K_{1}\subset K_{2}\subset \dots$

есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X, чьи внутренности покрывают X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

$U_{1}\supset U_{2}\supset \dots$,

где каждый U_n это связная компонента X\K_n.

Свойства

Число концов не зависит от конкретной последовательности {K_n} компактных множеств.

Конечная компактификация

Используя это определение, в районе конечного {U_i} есть открытое множество с V таких, что в V ⊃ U и_н для некоторых н. Такие районы представляют окрестности соответствующей точки на бесконечности в конец компактификации (это “компактификации” не всегда компактный; топологическое пространство х должен быть подключен и подключен локально).

Определение концы учитывая вышесказанное относится только к пространствам х , которые допускают исчерпывания компактнами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X  любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующая обратная система связных компонент дополнений {π₀(X\K)},. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы.

В этом определении, множество концов это функтор из категории топологических пространств, где морфизмы являются только собственными непрерывными отображеними в категорию наборы. А именно, если ϕ: X → Y является собственным отображением и x=(x_K)_K  это конец X (т. е. каждый элемент х_K в семействе связных компонент  X∖K и они совместимы с отображениями индуцированными включениями), то φ(х) это семейство $\varphi _{*}(x_{\varphi ^{-1}(K')})$ , где $K'$ диапазоны более компактных подмножеств в Y и φ_* - это карта, индуцированных φ от $\pi _{0}(X\setminus \varphi ^{-1}(K'))$ до $\pi _{0}(Y\setminus K')$. Соответствие функции φ используется, чтобы гарантировать, что каждая φ⁻1(K в) компактна В х.

Исходное определение выше, представляет собой частный случай, когда прямая система компактных подмножеств имеет cofinal последовательности.

Примеры

• Компактное пространство не имеет концов.
• В вещественная прямая $\scriptstyle \mathbb {R}$ имеет два конца, ∞ и −∞
• Евклидовом пространстве $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$ есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K.
• Более того, если М --- компактное многообразие с краем, то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М.
•  Объединение n лучей, исходящими из начала координат в $\scriptstyle \mathbb {R} ^{2}$ имеет n концов.
• бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов.  Эти концы можно рассматривать в качестве “кроны” бесконечного дерева. В конечной компактификации, множество концов  гомеоморфно Канторову множеству.

История

Понятие конца топологического пространства было введено Ганс Фройденталь (1931).

Ссылки

• Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Graph-theoretical versus topological ends of graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 87 (1): 197—206, doi:10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888.
• Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", Mathematische Zeitschrift, 33, Springer Berlin / Heidelberg: 692—713, doi:10.1007/BF01174375, ISSN 0025-5874, Zbl 0002.05603
• Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
• Peter Scott, Terry Wall, Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203.