Конец топологического пространства

Концах топологического пространства — грубо говоря компонента связности его «идеальной границы». То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к бесконечности в пространстве.

Добавление точки на каждом конце дает компактификацию исходного пространства, известного как конечная компактификация.

Определение

Пусть X топологическое пространство, и пусть

$K_{1}\subset K_{2}\subset \dots$

есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X, чьи внутренности покрывают X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

$U_{1}\supset U_{2}\supset \dots$,

где каждый U_n это компонента связности дополнения X\K_n.

Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности {K_n} компактных множеств.

Конечная компактификация

В конечной компактификации X добавляется по одной идеальной точке k для каждого конца U_i. При этом объедининия $U_{i}\cup \{k\}$ образуют базу окрестностей точки k.

Примеры

• Компактное пространство не имеет концов.
• В вещественная прямая $\scriptstyle \mathbb {R}$ имеет два конца, ∞ и -∞.
• Евклидовом пространстве $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$ есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K.
  • Более того, если М— компактное многообразие с краем, то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М.
•  Объединение n лучей, исходящими из начала координат в $\scriptstyle \mathbb {R} ^{2}$ имеет n концов.
• Бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов.  Эти концы можно рассматривать в качестве “кроны” бесконечного дерева. В конечной компактификации, множество концов  гомеоморфно Канторову множеству.

История

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталь в 1931.

Вариации и обобщения

Определение конца данное выше относится только к пространствам X, которые допускают исчерпывания компактами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующая обратная система связных компонент дополнений {π₀(X\K)}. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы.

Ссылки

• Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Graph-theoretical versus topological ends of graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 87 (1): 197—206, doi:10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888.
• Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", Mathematische Zeitschrift, 33, Springer Berlin / Heidelberg: 692—713, doi:10.1007/BF01174375, ISSN 0025-5874, Zbl 0002.05603
• Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
• Peter Scott, Terry Wall, Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203.