Закон Архимеда

Тело, впёрнутое в воду, Выпирает на свободу Силой выпертой воды Телом, впёрнутым туды.

Зако́н Архиме́да

На тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила (называемая силой Архимеда) ${\vec {F}}_{A}=-\rho {\overrightarrow {g}}V,$ где $\rho$ — плотность жидкости (газа), ${\overrightarrow {g}}$ — ускорение свободного падения, а $V$ — объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма. Шаблон:/рамка Тело, помещённое в воду, плавает, если сила Архимеда уравновешивает вес тела. Стоит заметить, что нижняя часть тела должна быть окружена жидкостью. Так, например, закон Архимеда нельзя применить к кубику, который лежит на дне резервуара, плотно прикасаясь ко дну. Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела. $P_{B}-P_{A}=\rho gh$ $F_{B}-F_{A}=\rho ghS=\rho gV,$ где PA, PB — давления в точках A и B, ρ — плотность жидкости, h — разница уровней между точками A и B, S — площадь горизонтального поперечного сечения тела, V — объём тела. В теоретической физике также применяют закон Архимеда в дифференциальной форме: ${\vec {F}}_{A}=\int _{S}{p{\vec {dS}}}$, где $S$ - площадь поверхности, $p$ - давление в какой-то точке, интегрирование производится по всей поверхности тела. Всё написанное выше относится к нахождению в однородном поле силы тяжести (например, вблизи поверхности планеты). Закон Архимеда справедлив также в любом другом однородном поле сил, которые равно действуют как на тело, так и на жидкость (газ). Например, это относится к полю сил инерции (например, центробежной силы). Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы Гидростатическое давление жидкости на глубине $h$ есть $p=\rho gh$. При этом считаем давление жидкости и напряженность гравитационного поля постоянными величинами, а $h$ - параметром. Возьмем тело произвольной формы, имеющее ненулевой объем. Введем правую ортонормированную систему координат $Oxyz$, причем выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора ${\vec {g}}$. Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку $dS$. На нее будет действовать сила давления жидкости направленная внутрь тела, $d{\vec {Fa}}=-p{\vec {dS}}$. Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмем интеграл по поверхности: ${\vec {Fa}}=-\int _{S}{p{\vec {dS}}}=-\int _{S}{\rho gh{\vec {dS}}}=-\rho g\int _{S}{h{\vec {dS}}}=^{*}-\rho g\int _{V}{grad(h)dV}=^{**}-\rho g\int _{V}{{\vec {e_{z}}}dV}=-\rho g{\vec {e_{z}}}\int _{V}{dV}=(\rho gV)(-{\vec {e_{z}}})$ * При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объему пользуемся обобщенной теоремой Остроградского-Гаусса. ** $h(x,y,z)=z;\quad grad(h)=\triangledown h={\vec {e_{z}}}$ Получаем, что модуль силы Архимеда равен $\rho gV$, а направлена она в сторону, противоположную направлению вектора напряженности гравитационного поля. См. также Гидростатика Ссылки