Методы интегрирования: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Интегрирование выражений вида «\int \sin^m(x) \cdot \cos^n(x) \cdot d(x)»: формулы не окружаются кавычками, скобки не нужны |
Если это тот же метод, зачем отдельная секция? |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
== Непосредственное интегрирование == |
== Непосредственное интегрирование == |
||
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём [[Тождественное преобразование|тождественных преобразований]] подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким [[Список интегралов элементарных функций|интегралам элементарных функций]]. |
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём [[Тождественное преобразование|тождественных преобразований]] подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким [[Список интегралов элементарных функций|интегралам элементарных функций]]. |
||
== Подведение под знак дифференциала == |
|||
Данный метод эквивалентен методу замены переменной (методу подстановки): |
|||
⚫ | |||
== Метод замены переменной (метод подстановки) == |
== Метод замены переменной (метод подстановки) == |
||
Строка 20: | Строка 15: | ||
неопределенного интеграла получаем ''формулу интегрирования подстановкой:'' |
неопределенного интеграла получаем ''формулу интегрирования подстановкой:'' |
||
: <math>\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt.</math> |
: <math>\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt.</math> |
||
Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функцию вида <math>v(u(x))</math> интегрируется следующим образом: |
|||
⚫ | |||
== Интегрирование выражений вида <math>\int \sin^m x \cdot \cos^n x \cdot dx</math> == |
== Интегрирование выражений вида <math>\int \sin^m x \cdot \cos^n x \cdot dx</math> == |
Версия от 14:42, 11 сентября 2016
Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.
Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функцию вида интегрируется следующим образом:
Интегрирование выражений вида
Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки. Выбор подстановки производится следующим образом:
- Если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
- Если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
- Если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку .
Пример: .
Решение: Пусть ; тогда и , где C — любая константа.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
Или:
В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл
где — многочлен -й степени.
Интегрирование рациональных дробей
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Примеры
Вычислить:
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
Следовательно
Тогда
Теперь легко вычислить исходный интеграл
Интегрирование элементарных функций
Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.
См. также
- Символьное интегрирование
- Формулы Фруллани
- Универсальная тригонометрическая подстановка
- Подстановки Эйлера
Ссылки
- Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
- Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
- Онлайн Калькулятор Интегралов