Методы интегрирования: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
общий случай
Строка 29: Строка 29:


*Если <math>R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>z=\cos x</math><ref name="UM">См. обоснование в книге: {{книга|автор=И. М. Уваренков, М. З. Малер|заглавие=Курс математического анализа|место=М.|издательство=[[Просвещение (издательство)|Просвещение]]|том=1|год=1966|страницы=459-460}}</ref>;
*Если <math>R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>z=\cos x</math><ref name="UM">См. обоснование в книге: {{книга|автор=И. М. Уваренков, М. З. Малер|заглавие=Курс математического анализа|место=М.|издательство=[[Просвещение (издательство)|Просвещение]]|том=1|год=1966|страницы=459-460}}</ref>;
*Если <math>R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>z=\sin x</math><ref name="UM"/>
*Если <math>R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>z=\sin x</math><ref name="UM"/>;
*Если <math>R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>z=\operatorname{tg} x</math><ref>См. обоснование в книге: {{книга|автор=В. А. Ильин, Э. Г. Позняк|заглавие=Основы математического анализа|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|издание=2-е изд|серия=Курс высшей математики и математической физики|год=1967|страницы=219}}</ref>;
*Если <math>R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)</math>, то применяется подстановка <math>z=\operatorname{tg} x</math><ref>См. обоснование в книге: {{книга|автор=В. А. Ильин, Э. Г. Позняк|заглавие=Основы математического анализа|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|издание=2-е изд|серия=Курс высшей математики и математической физики|год=1967|страницы=219}}</ref>.
Частный случай этого правила:
Частный случай этого правила:



Версия от 20:01, 15 февраля 2017

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функцию вида интегрируется следующим образом:

Пример: Найти

Решение: Пусть , тогда .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Пусть требуется проинтегрировать выражение , где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

  • Если , то применяется подстановка [1];
  • Если , то применяется подстановка [1];
  • Если , то применяется подстановка [2].

Частный случай этого правила:

Выбор подстановки производится следующим образом:

  • Если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
  • Если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ;
  • Если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку .

Пример: .

Решение: Пусть ; тогда и , где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального бинома

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

где a, bдействительные числа, a m, n, pрациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

  • — целое число. Используется подстановка , — общий знаменатель дробей и ;
  • — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .
  • — целое число. Используется подстановка , — знаменатель дроби .

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях[3].

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где  — многочлен -й степени.


Пример: Найти интеграл .

Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что и , тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем

Интегрирование рациональных дробей

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где  — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример:

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

Следовательно

Тогда


Теперь легко вычислить исходный интеграл

Интегрирование элементарных функций

Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.

См. также

Примечания

  1. 1 2 См. обоснование в книге: И. М. Уваренков, М. З. Малер. Курс математического анализа. — М.: Просвещение, 1966. — Т. 1. — С. 459-460.
  2. См. обоснование в книге: В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 219. — (Курс высшей математики и математической физики).
  3. P. Tchebichef (1853). "Sur l'intégration des différentielles irrationnelles". Journal de mathématiques pures et appliquées. XVIII: 87–111.

Ссылки