Алгебраическая система

Алгебраическая система в универсальной алгебре — множество $G$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

$n$-арная операция на $G$ — это отображение прямого произведения $n$ экземпляров множества в само множество $G^{n}\to G$. По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы, факторкольца, факторешётки), идеалы (нормальные подгруппы, двусторонние идеалы колец, идеалы решёток). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфзиме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры, уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.

Не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Основные классы алгебраических систем

• Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений.

Группоиды, полугруппы, группы

• Группоид — множество с одной бинарной операцией $\cdot :G\times G\to G$, обычно называемой умножением.
• Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение $x\cdot a=b$ имеет единственное решение для любых $a$ и $b$.
• Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
• Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом $e\in G$, таким, что $a\cdot e=e\cdot a=a$.
• Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$.
• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
• Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a⁻¹, такой, что $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$.
• Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, $a\cdot b=b\cdot a$. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

• Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.
• Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
• Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

• Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
• Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

• Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
• Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры

• Алгебра — линейное пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой линейного пространства
• Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
• Алгебра термов
• Коммутативная алгебра
• Градуированная алгебра
• Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым $[a,b]$), удовлетворяющим тождеству Якоби $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
• Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым $[a,b]$), удовлетворяющим тождеству Якоби $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
• Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$
• Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$ и тождеством эластичности: $x(yx)=(xy)x$
• Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x$
• Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:

  $(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x$

• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

• Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
• Булева алгебра.

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.