Алгебраическая система
Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.
-арная операция на — это отображение прямого произведения экземпляров множества в само множество . По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).
Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы, факторкольца, факторешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфзиме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры, уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.
В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры», в частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями, при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы) уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.
Основные классы алгебраических систем
- Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений[1].
Группоиды, полугруппы, группы
- Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
- Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение имеет единственное решение для любых и .
- Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
- Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом , таким, что .
- Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
- Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
- Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .
- Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').
Кольца
- Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: .
- Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
- Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
- Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
- Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.
- Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
- Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
Алгебры
- Алгебра — линейное пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой линейного пространства
- Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
- Алгебра термов
- Коммутативная алгебра
- Градуированная алгебра
- Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби
- Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби
- Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности:
- Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: и тождеством эластичности:
- Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами
- Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:
- Коммутантно-ассоциативная алгебра
- Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.
Решётки
- Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
- Булева алгебра.
Примечания
- ↑ Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15
Литература
- Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.