Закон Био — Савара — Лапласа

Закон Био́ — Савáра — Лапла́са (также Закон Био́ — Савáра) — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром и сформулирован в общем виде Лапласом. Лаплас показал также, что с помощью этого закона можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда (считая движение одной заряженной частицы током).

Закон Био — Савара — Лапласа играет в магнитостатике ту же роль, что и закон Кулона в электростатике. Закон Био — Савара — Лапласа можно считать главным законом магнитостатики, получая из него остальные её результаты.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля, то есть в современной формулировке уравнения Максвелла выступают как более фундаментальные (прежде всего хотя бы потому, что формулу Био — Савара — Лапласа нельзя просто обобщить на общий случай полей, зависящих от времени).

Закон Био — Савара — Лапласа можно вывести и другими способами, используя, например, лоренцевское преобразование компонент тензора электромагнитного поля из движущейся системы отсчёта, где есть только электрическое поле некоторой системы зарядов, в неподвижную систему отсчёта. При этом оказывается, что магнитное поле в законе Био — Савара — Лапласа определяется с относительной неточностью, по порядку величины равной $v^{2}/c^{2}$, где $c$ есть скорость света, $\mathbf {v}$ обозначает дрейфовую скорость заряженных частиц, входящую в плотность тока $\mathbf {j}$.

Закон Био — Савара в разных случаях

Для текущих по тонкому проводу токов

Пусть постоянный ток $I$ течёт по контуру (проводнику) $\gamma$, находящемуся в вакууме, $\mathbf {r} _{0}$ — точка, в которой ищется поле. Тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе единиц СИ)

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}$,

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, $\mathbf {r}$ — положение точек контура $\gamma$, $d\mathbf {r}$ — вектор элемента контура (ток течёт вдоль него); $\mu _{0}$ — магнитная постоянная.

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )d\mathbf {l} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}$.

Контур $\gamma$ может иметь ветвления. В таком случае под выражением, приведённым выше, следует понимать сумму по ветвям, слагаемое для каждой ветви является интегралом выписанного вида. Для простого (неветвящегося) контура (и при выполнении условий магнитостатического приближения, подразумевающих отсутствие накопления зарядов), ток $I$ одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла.

Если взять за точку отсчёта ту точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то $\mathbf {r} _{0}=0$ и формула немного упрощается:

$d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}$,

где ${\vec {r}}$ — вектор, описывающий кривую проводника с током $I$, $r$ — модуль ${\vec {r}}$, $d{\vec {B}}$ — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника $d{\vec {r}}$.

Направление $d\mathbf {B}$ перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ и $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$. Направление вектора магнитной индукции может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта даёт направление $d\mathbf {B}$, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора $d\mathbf {B}$ определяется выражением (в системе СИ)

$dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},$

где $\alpha$ — угол между вектором $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ (радиус-вектором, проведённым от элемента проводника $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ к точке, в которой ищется поле) и элементом $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ проводника.

Пример расчёта

Найдём магнитное поле в центре кольцевого витка радиуса $R$ с током $I$. Совместим начало отсчёта с точкой, где ищется индукция. Радиус-вектор ${\vec {r}}$ элемента тока, создающего поле (элемента дуги кольца), запишется как ${\vec {r}}=R{\vec {e}}_{r}$, где ${\vec {e}}_{r}$ — единичный вектор в плоскости кольца, направленный от центра. Элемент дуги записывается как $d{\vec {r}}=d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$, где ${\vec {e}}_{\varphi }$ — единичный касательный вектор к окружности. По формуле Био — Савара,

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[R{\vec {e}}_{r}\times dl\,{\vec {e}}_{\varphi }]}{R^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R^{2}}}dl\,{\vec {e}}_{z}$,

поскольку ${\vec {e}}_{r}\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z}$ — единичный вектор вдоль оси кольца. Для нахождания поля, создаваемого всем кольцом, а не отдельным элементом, нужно проинтегрировать. Результат:

${\vec {B}}=d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I{\vec {e}}_{z}}{4\pi R^{2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\,{\vec {e}}_{z}$,

так как интеграл равен просто длине окружности $2\pi R$.

Для поверхностных и объёмных токов

Для случая, когда источником магнитного поля являются объёмно-распределённые токи (A/м²), характеризуемые зависящим от координат вектором плотности тока $\mathbf {j}$, формула закона Био — Савара для магнитной индукции и формула для вектор-потенциала принимают вид (в системе СИ)

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}$,

где $dV$ — элемент объёма, а интегрирование производится по всему пространству (или по всем его областям, где $\mathbf {j} =\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ (вектор $\mathbf {r}$ соответствует текущей точке при интегрировании (положению элемента $dV$).

Для случая, когда источником магнитного поля является ток $\mathbf {i}$ (А/м), текущий по некоей поверхности,

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {i} dS,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {i} (\mathbf {r} )dS}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}$,

где $dS$ — элемент площади токонесущей поверхности, по которой и выполняется интегрирование.

Следствия

Хотя в современном подходе, как правило, сам закон Био — Савара выступает следствием уравнений Максвелла, однако исторически его открытие предшествовало уравнениям Максвелла, поэтому уравнения Максвелла для случая магнитостатики можно рассматривать как следствия закона Био — Савара. С чисто формальной точки зрения в случае магнитостатики оба подхода можно считать равноправными, то есть в этом смысле то, что из них считать исходными положениями, а что следствиями, зависит от выбора аксиоматизации, который в случае магнитостатики может быть тем или другим с равным формальным правом и практически равным удобством.

Основными следствиями закона Био — Савара являются (в указанном выше смысле) уравнения Максвелла для случая магнитостатики, в интегральной форме имеющие вид

$\oint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0$

— вариант теоремы Гаусса для магнитного поля (это уравнение остаётся в электродинамике неизменным и для общего случая)

и

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}I=\mu _{0}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

— уравнение для циркуляции магнитного поля в магнитостатике (здесь дано для случая вакуума, в системе СИ). Эта формула (и вывод её из закона Био — Савара) есть содержание теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля.

Дифференциальная форма этих уравнений:

$\mathrm {div} \mathbf {B} =0,$

$\mathrm {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,$

где j — плотность тока (запись в системе СИ, в гауссовой системе единиц константа вместо $\mu _{0}$ принимает вид ${\frac {4\pi }{c}}.$)

Вывод закона из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СИ)

$\operatorname {rot} \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {B} =0$

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}^{-1}\rho$,

где $\mathbf {j}$ — плотность тока в пространстве, $\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная, $\rho$ — плотность заряда. Электрическое и магнитное поля при этом оказываются независимыми.

Воспользуемся векторным потенциалом $\mathbf {A}$ для магнитного поля ($\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A}$). Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие: $\operatorname {div} \,\mathbf {A} =0$. Раскрывая двойной ротор в уравнении для $\operatorname {rot} \,\mathbf {B}$ по формуле векторного анализа, получим для потенциала $\mathbf {A}$ уравнение типа уравнения Пуассона:

$\Delta \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} .$

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV$.

Тогда магнитное поле определяется интегралом

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[\nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV$,

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать полным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что $\mathbf {j} dV=I\mathbf {dl}$, получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5..
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.