Теорема о циркуляции магнитного поля

Теорема о циркуляции магнитного поля — одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Максвелл снова вывел эту теорему, опираясь на аналогии с гидродинамикой, и обобщил её (см. ниже). Уравнение, представляющее собой содержание теоремы в этом обобщённом виде, входит в число уравнений Максвелла. (Для случая постоянных электрических полей — то есть в магнитостатике — верна теорема в первоначальном виде, сформулированная Ампером и приведённая в статье первой; для общего случая правая часть должна быть дополнена членом с производной напряжённости электрического поля по времени — см. ниже.) Теорема гласит:

Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.

Эта теорема, особенно в иностранной или переводной литературе, называется также теоремой Ампера или законом Ампера о циркуляции (англ. Ampère’s circuital law). Последнее название подразумевает рассмотрение закона Ампера в качестве более фундаментального утверждения, чем закон Био — Савара — Лапласа, который в свою очередь рассматривается уже в качестве следствия (что, в целом, соответствует современному варианту построения электродинамики).

Для общего случая (классической) электродинамики формула должна быть дополнена в правой части членом, содержащим производную по времени от электрического поля (см. уравнения Максвелла, а также параграф «Обобщение» ниже). В таком дополненном виде она представляет собой четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Математическая формулировка

В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет следующий вид:

$\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}$.

Здесь ${\vec {B}}$ — вектор магнитной индукции, ${\vec {j}}$ — плотность тока, $c$ — скорость света в вакууме; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме:

$\mathrm {rot} \ {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}$.

Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса.

Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под ${\vec {j}}$ понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие в веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы (см. диамагнетики) и магнитные моменты микрочастиц (см., например, статью «Ферромагнетики»).

Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения (см. связанные токи), выразив его через величину намагниченности ${\vec {M}}$ и введя вектор напряжённости магнитного поля

${\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {M}}$.

Тогда теорема о циркуляции запишется в форме

$\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}_{f}\cdot {\vec {ds}}$

$\mathrm {rot} \ {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}_{f},$

где под ${\vec {j}}_{f}$ (в отличие от ${\vec {j}}$ в формуле выше) имеются в виду только так называемые свободные токи, в которых ток намагничения исключён (что бывает удобно практически, поскольку ${\vec {j}}_{f}$ — это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить).

В динамическом случае — то есть в общем случае классической электродинамики — когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) — и речь тогда идёт об обобщённой теореме, включающей $d{\vec {E}}/dt$, — всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене $d{\vec {D}}/dt$.

Обобщение

Основная статья: Закон Ампера — Максвелла

Основным фундаментальным обобщением теоремы является четвёртое уравнение Максвелла. В интегральной форме оно является прямым обобщением на динамический случай магнитостатической формулы, приведённой выше. Для вакуума:

$\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})\cdot {\vec {ds}}$

для среды:

$\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}$.

(Как видим, формулы отличаются от приведённых выше только одним добавочным членом со скоростью изменения электрического поля в правой части).

Дифференциальная форма этого уравнения:

$\mathbf {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}},$

$\mathbf {rot} {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}$

(в гауссовой системе, для вакуума и среды соответственно) — также можно при желании считать вариантом обобщения теоремы о циркуляции магнитного поля, поскольку она, конечно, тесно связана с интегральной.

Практическое значение

Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

$B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\to B(r)={\frac {2I}{cr}}$.

Доказательство теоремы о циркуляции

Циркуляция магнитного поля

Если теорема о циркуляции магнитного поля не принимается в качестве аксиомы, то она может быть доказана с помощью закона Био — Савара — Лапласа. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое в точке ${\vec {p}}=(x_{0};y_{0};z_{0})$ бесконечным проводом с током, заданным в пространстве кривой $\mathbb {C}$. По закону Био — Савара — Лапласа токовый элемент провода, заданный радиус-вектором ${\vec {r}}$, создаёт в точке ${\vec {p}}$ элементарное поле

$\mathrm {d} {\vec {B}}({\vec {p}})={1 \over c}{\frac {I[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$.

Как и во всех формулах выше, здесь используется гауссова система; для СИ $1/c$ заменяется на $\mu _{0}/4\pi$ ($\mu _{0}$ — магнитная постоянная).

Полная индукция магнитного поля в точке ${\vec {p}}$ получается интегрированием элементарного поля по всей кривой $\mathbb {C}$ в направлении течения тока:

${\vec {B}}({\vec {p}})={1 \over c}\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {I[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$.

Полученный интеграл не относится ни к одному из двух родов криволинейных интегралов. Он определяет собой векторную величину, тогда как любой криволинейный интеграл является скалярной величиной. Но допустим, что его всё-таки можно вычислить каким-нибудь способом (например, интегрированием отдельно каждой компоненты вектора). Тогда найдём циркуляцию полученного вектора индукции по некоторому замкнутому контуру $\Gamma$, обхватывающему провод с током.

По определению циркуляция векторной функции — это криволинейный интеграл второго рода от этой функции по замкнутому контуру в положительном направлении обхода этой кривой. Будем считать положительным направлением нормали к поверхности, натянутой на контур, такое направление, которое образует острый угол с осью $z$. Тогда положительное направление обхода контура определяется правилом буравчика (правого винта) по отношению к положительной нормали. Будем также считать положительным тот ток, который течёт в направлении положительной нормали контура, охватывающего ток.

Циркуляция будет иметь вид

$\Gamma =\oint _{\Gamma }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=\oint _{\Gamma }{I \over c}\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}$.

Под интегралами появилось смешанное произведение векторов $[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=(\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}},({\vec {p}}-{\vec {r}}))$, которое по свойству кососимметрии может быть записано следующим образом:

$[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=(\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}},({\vec {p}}-{\vec {r}}))=(({\vec {p}}-{\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}})=[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]\cdot ({\vec {p}}-{\vec {r}})$.

Тогда

$\Gamma ={I \over c}\oint _{\Gamma }\int \limits _{\mathbb {C} }({\vec {p}}-{\vec {r}})\cdot {\frac {[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$.

Величина векторного произведения $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, а направление перпендикулярно параллелограмму. Данное векторное произведение можно считать элементарной векторной площадкой $\mathrm {d} {\vec {S}}=[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ поверхности, которую заметает вектор $({\vec {p}}-{\vec {r}})$ при двойном криволинейном интегрировании, причём угол между $({\vec {p}}-{\vec {r}})$ и $\mathrm {d} {\vec {S}}$ является острым. Эта поверхность является цилиндрической поверхностью, охватывающей провод с током, а её сечением является контур циркуляции $\Gamma$. Тогда двойной криволинейный интеграл можно заменить поверхностным интегралом второго рода по данной поверхности, а циркуляция примет вид

$\Gamma ={I \over c}\int \!\!\!\int _{S}({\vec {p}}-{\vec {r}})\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {S}}}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$.

Если считать поверхность интегрирования стягивающей, легко видеть, что поверхностный интеграл представляет собой телесный угол для данной поверхности. Поверхность интегрирования условно можно считать замкнутой на бесконечности. И тогда, поскольку вектор $({\vec {p}}-{\vec {r}})$ при интегрировании всегда находится внутри поверхности, телесный угол является полным, то есть равным $4\pi$ стерадиан. И тогда циркуляция равна

$\Gamma ={I \over c}\cdot 4\pi ={4\pi \over c}I$.

Если бы контур $\Gamma$ не охватывал провод, то вектор $({\vec {p}}-{\vec {r}})$ при интегрировании никогда не находился бы полностью внутри поверхности интегрирования. В этом случае телесный угол был бы равен нулю, как и циркуляция поля: $\Gamma =0$.

Последние два утверждения о телесном угле являются по сути содержанием теоремы Гаусса о потоке вектора напряжённости заряда через произвольную замкнутую поверхность и могут быть доказаны независимо.

Если бы ток тёк в противоположном направлении, угол между векторами $({\vec {p}}-{\vec {r}})$ и $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ был бы уже тупым (нормаль была бы направлена внутрь поверхности), и циркуляция поменяла бы свой знак на противоположный, что эквивалентно течению тока в прежнем направлении, но с отрицательной силой.

В случае поля, создаваемого несколькими проводниками с током, нужно помнить о свойстве суперпозиции магнитного поля и свойстве аддитивности криволинейного интеграла: циркуляция суперпозиции векторов равна скалярной сумме циркуляций этих векторов.