Пифагорова четвёрка

Пифагорова четвёрка — кортеж целых чисел $(a,b,c,d)$ таких, что $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$, при этом d > 0. Пифагорова четвёрка $(a,b,c,d)$ определяет прямоугольный параллелепипед с длинами сторон |a|, |b| и |c|, диагональ которого имеет длину d. Пифагоровы четвёрки также называются пифагоровыми блоками.

Параметризация примитивных четвёрок

Множество всех примитивных пифагоровых четвёрок, то есть тех, для которых НОД(a,b,c) = 1, имеет параметризацию

$a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},$

$b=2(mq+np),$

$c=2(nq-mp),$

$d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},$

где m, n, p, q — натуральные целые, НОД(m, n, p, q) = 1 и m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким образом, все примитивные пифагоровы четвёрки описываются тождеством Лебега

$(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.$

Альтернативная параметризация

Все пифагоровы четвёрки (включая непримитивные и с повторениями) можно получить из двух натуральных чисел a и b следующим образом:

Если $a$ и $b$ имеют различную чётность, возьмём любой множитель p числа $a^{2}+b^{2}$ такой, что $p^{2}<a^{2}+b^{2}$. Тогда $c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)$ и $d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).$ Заметим, что $p={d-c}.$

Похожий метод существует для $a,b$ чётных с дополнительным ограничением, что $2p$ должно быть чётным делителем числа $a^{2}+b^{2}.$ Такого метода не существует для случая, когда оба числа a и b нечётны.

Свойства

Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12. Четвёрка с минимальным произведением — (1, 2, 2, 3).

Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами

Примитивная пифагорова четвёрка $(a,b,c,d)$, параметризованная с помощью $(m,n,p,q)$, соответствует первому столбцу матричного представления $E(\alpha )$ сопряжения $\alpha (\cdot ){\overline {\alpha }}$ с помощью кватерниона Гурвица $\alpha =m+ni+pj+qk$, суженного до подпространства $\mathbb {H}$, натянутого на $i,j,k$

$E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},$

где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d. Более того, ${\frac {1}{d}}E(\alpha )$ $\in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )$, и, фактически, все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами появляются таким образом.

Пифагоровы четвёрки с малой нормой

(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)

Строгая параметризация Пифагоровых четвёрок, и иных Пифагоровых наборов

Согласно соотношениям катетов и гипотенузы, применительно к Пифагоровым тройкам и любым иным Пифагоровым наборам, сумма квадратов длин катетов, должна быть равна квадрату длины гипотенузы.

В совокупности с конвенцией об обязательной натуральности вышеуказанных величин, все Пифагоровы наборы, должны неукоснительно соответствовать этим двум положениям.

С этой позиции, параметризация Пифагоровых четвёрок, показывает, что вышеупомянутая последовательность, является более общим случаем, а именно: это арифметическая последовательность четвёрок натуральных чисел, где квадраты трёх первых чисел в сумме, равны квадрату четвёртого числа.

Пифагоровы же четвёрки, являются лишь частью этой арифметической последовательности, поскольку остальные четвёрки чисел в ней, не обнаруживают натуральные гипотензузы для входящих в них катетов.

Например: в арифметической последовательности 1, 2, 2, 3, для указанных в ней катетов, не существует натуральных величин длины гипотенуз. Что в свою очередь исключает подобные арифметические четвёрки из множества именно Пифагоровых наборов.

Строгая последовательность Пифагоровых четвёрок, для каждого последовательного натурального числа (длины катета), выглядит следующим образом:

3 4 12 13; 4 3 12 13; 5 12 84 85; 6 8 24 26; 7 24 312 313; 7 24 60 65; 8 15 144 145; 8 6 24 26; 9 40 840 841; 9 12 112 113; 9 12 36 39; 9 12 20 25; 9 12 8 17; 10 24 168 170; 11 60 1860 1861; 12 35 684 685; 12 16 99 101; 12 16 48 52; 12 16 21 29; 12 16 15 25; 12 9 112 113; 12 9 36 39; 12 9 20 25; 12 9 8 17; 12 5 84 85; 13 84 3612 3613; 13 84 720 725; 14 48 624 626; 14 48 120 130; 15 112 6384 6385; 15 36 760 761; 15 36 252 255; 15 36 80 89; 15 36 52 65; 15 20 312 313; 15 20 60 65; 15 8 144 145, и так далее.

Причём ряд Пифагоровых четвёрок, впрочем как и любых других Пифагоровых наборов, включая тройки, начинается только с наименьшей длины катета, равной трём, в первом кортеже.

Связано это с тем, что для катетов с длинами, равными единице или двум, нет натуральных величин гипотенузы.

См. также

• Пифагорова тройка
• Теорема де Гуа
• Кватернионы и вращение пространства
• Формула Эйлера — Родригеса для вращения в трёхмерном пространстве
• Гипотеза Эйлера
• Гипотеза Била
• Уравнение Якоби — Маддена
• Задача Прухета — Тарри — Эскотта
• Число такси
• Задача о четырёх кубах

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pythagorean Quadruple (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lebesgue's Identity (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Diophantine Analysis в проекте «Гутенберг».
• The complete parametrization derived using a Minkowskian Clifford Algebra