Ортогональная группа

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $n$-мерного векторного пространства $V$ над полем $k$, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $Q$ на $V$ (то есть таких линейных преобразований $\varphi$, что $Q(\varphi (v))=Q(v)$ для любого $v\in V$).

Обозначения и связанные определения

• Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно $Q$) преобразованиями $V$, а также автоморфизмами формы $Q$ (точнее, автоморфизмами пространства $V$ относительно формы $Q$).
• Обозначается $O_{n}$, $O_{n}(k)$, $O_{n}(Q)$ и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
• Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ($l$ плюсов, $m$ минусов) где $n=l+m$, обозначается $O(l,m)$, см. напр. O(1,3).

Свойства

• В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с $Q$ связана невырожденная симметрическая билинейная форма $F$ на $V$, определенная формулой

  $F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}}.$

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства $V$, которые сохраняют $F$, и обозначается через $O_{n}(k,\;F)$ или (когда ясно о каком поле $k$ и форме $F$ идёт речь) просто через $O_{n}$.

• Если $B$ — матрица формы $F$ в неком базисе пространства $V$, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц $A$ с коэффициентами в $k$, что $A^{T}BA=B$.

В частности, если базис таков, что $Q$ является суммой квадратов координат (то есть, матрица $B$ единична), то такие матрицы $A$ называются ортогональными.

• Над полем вещественных чисел, группа $O_{n}({\mathbb {R} },\;V)$ компактна тогда и только тогда, когда форма $Q$ знакоопределена.
  • В этом случае любой элемент из $O_{n}({\mathbb {R} })$, для подходящего базиса представляется как блочно-диагональная матрица

    ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$

где R₁, ..., R_k — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.

Другие группы

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL($n$). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу $SO(n,Q)$, обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». $SO(n,Q)$, по построению, является также подгруппой специальной линейной группы $SL(n)$.

См. также

• SO(8)

Источники

• Попов В. Л. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 81—84.

Ссылки

• Orthogonal group

• Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. Изд-во URSS. 2018. 491 с