Группа Конвея Co1
Группа Конвея Co1 — это спорадическая простая группа порядка
- = 4157776806543360000
- ≈ 4⋅1018.
История и свойства
[править | править код]Co1 является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джоном Хортоном Конвеем в 1968. Группа является самой большой из трёх спорадических групп Конвея и может быть получена как факторгруппа Co0 (группа автоморфизмов решётки Лича , сохраняющих начало координат) по её центру, который состоит из скалярных матриц ±1[1]. Группа также возникает на вершине группы автоморфизмов чётной 26-мерной унимодулярной решётки II25,1[англ.]. Некоторые, не совсем понятные, комментарии в коллекции работ Витта позволяют полагать, что он нашёл решётку Лича и, возможно, порядок её группы автоморфизмов в неопубликованной работе 1940 года.
Группа внешних автоморфизмов[англ.]группы Co1 тривиальна, а мультипликатор Шура имеет порядок 2.
Инволюции
[править | править код]Co0 имеет 4 класса смежности инволюций. Они стягиваются к 2 в Co1, но есть 4-элементы в Co0, которые соответствуют третьему классу инволюций в Co1.
Образ 12-элементных множеств (додекады) имеет централизатор типа 211:M12:2, который содержится в максимальной подгруппе типа 211:M24.
Образ октад или 16-элементных множеств имеет централизатор вида 21+8.O8+(2), максимальная подгруппа.
Представления
[править | править код]Наименьшее точное перестановочное представление группы Co1 состоит из 98280 пар {v,–v} векторов с нормой 4.
Централизатор инволюции типа 2B в монстре имеет вид .
Диаграмма Дынкина чётной Лоренцевой унимодулярной решётки II1,25[англ.] изометрична (аффинной) решётке Лича , так что группа авоморфизмов диаграммы является расщепляемым расширением ,Co0 аффинных изометрий решётки Лича.
Максимальные подгруппы
[править | править код]Уилсон[2] нашёл 22 смежных классов максимальных подгрупп группы Co1, хотя в его изначальном списке имеется несколько ошибок, которые он исправил позже[3].
- Co2[англ.]
- 3.Suz:2 Подъём до фиксирует комплексную структуру или изменяет её в сопряжённую структуру. Вершина башни Судзуки.
- 211:M24 Подъём до фиксирует каркас векторов[4]. Образ мономиальной подгруппы[5] группы
- Co3[англ.]
- централизатор инволюции (образ октад из )
- в цепочке Судзуки[англ.][6].
- 36:2.M12 (голоморф троичного кода Голея)
- (A5 × J2):2 в цепочке Судзуки
- в цепочке Судзуки
- в цепочке Судзуки
- в цепочке Судзуки
Примечания
[править | править код]- ↑ Диагональная матрица, все элементы которой равны
- ↑ Wilson, 1983.
- ↑ Wilson, 1988.
- ↑ Векторы длины 8 в решётке Лича распадаются на 48 пар взаимно перпендикулярных векторов, которые называются координатными парами (Wilson 2009).
- ↑ Конечная группа G называется мономиальной или -группой, если все её неприводимые характеры индуцируются линейными характерами подгрупп группы G (Фёдоров 2007).
- ↑ Цепочка Судзуки или башня Судзуки — это следующие группы перестановок ранга 3:.
Литература
[править | править код]- John Horton Conway. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398.
- Theory of finite groups: A symposium / Brauer R., Chih-han Sah. — W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
- John Horton Conway. A group of order 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1969. — Т. 1. — С. 79–88. — ISSN 0024-6093. — doi:10.1112/blms/1.1.79.
- John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / Powell M. B., Graham Higman. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999, 267-298
- John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
- Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
- John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis R. T., Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
- Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
- Robert A. Wilson. The maximal subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1983. — Т. 85, вып. 1. — С. 144–165. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(83)90122-9.
- Robert A. Wilson. On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1988. — Т. 113, вып. 1. — С. 261–262. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(88)90192-5.
- Robert A. Wilson. The finite simple groups.. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2009. — (Graduate Texts in Mathematics 251). — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
- Фёдоров С. Н. Мономиальность конечных групп с некоторыми условиями на классы сопряжённых элементов // Фундамент. и прикл. матем.. — 2007. — Т. 13, вып. 5. — С. 201–212.
Ссылки
[править | править код]- MathWorld: Conway Groups Архивная копия от 29 октября 2017 на Wayback Machine
- Atlas of Finite Group Representations: Co1 version 2
- Atlas of Finite Group Representations: Co1 Архивная копия от 27 марта 2008 на Wayback Machine version 3
Для улучшения этой статьи желательно:
|