Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ равно произведению $|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )$

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.

Обычно для скалярного произведения векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ используется одно из следующих обозначений.

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ или просто $\mathbf {a} \mathbf {b}$

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$ или (обозначение Дирака, применяемое в квантовой механике для векторов состояния): $\langle a|b\rangle$

В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )$

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю.

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения в общем случае непригодно, так как неясно, что подразумевается под длинами векторов и величиной угла между ними. Поэтому в современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведения вектора силы на вектор перемещения.

Определение

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве $L$ определено скалярное произведение, если каждой паре векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ из $L$ поставлено в соответствие число $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$, удовлетворяющее следующим аксиомам.

1. Для любых трёх элементов $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ пространства $\mathbb {L}$ и любых чисел $\alpha ,\beta$ справедливо равенство: $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$ (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
2. Для любых $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ справедливо равенство $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}}$, где черта означает комплексное сопряжение.
3. Для любого $\mathbf {a}$ имеем: $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$, причем $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ только при $\mathbf {a} =0$ (положительная определённость и невырожденность скалярного произведения соответственно).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )$ — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным или неопределённым.

Определение в евклидовом пространстве

В $n$-мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами $n$ вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\dots a_{n}\},\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2}\dots b_{n}\}$ можно так:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}$

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов $\{1,3,-5\}$ и $\{4,-2,-1\}$ будет вычислено так:

${\begin{aligned}\ \{1,3,-5\}\cdot \{4,-2,-1\}&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}$

Для комплексных векторов $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\dots a_{n}\},\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2}\dots b_{n}\}$ определим аналогично:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}$.

Пример (для $n=2$): $\{1+i,2\}\cdot \{2+i,i\}=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.$

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

$|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}$

(термин 'длина' обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом $\varphi$ между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

$\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi )$

Данные определения позволяют сохранить формулу: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$ и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского:

Для любых элементов $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство: $\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )$

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

$|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .$

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Свойства

• Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

  $|BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}$

• Оценка угла между векторами:

  в формуле $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

• Проекция вектора $\mathbf {a}$ на направление, определяемое единичным вектором $\mathbf {e}$:

  $a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$, так как $|\mathbf {e} |=1.$

• Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора $\mathbf {a} \$ и $\mathbf {b} \$, равна

${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}}}\$

История

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю.

Вариации и обобщения

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

$(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}d\Omega$

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора $g_{ij}$:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum g_{ij}a^{i}b^{j}$

При этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов $f_{i}\$:

$g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})$

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

$(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$

$(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega$

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам.

См. также

• Гильбертово пространство
• Векторное произведение
• Внешнее произведение
• Псевдоскалярное произведение
• Смешанное произведение

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — М.: Наука, 1971. — 272 с.

Ссылки

• Емелин А. Скалярное произведение векторов  (неопр.). Дата обращения: 14 ноября 2019.