Алгебраическая система

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество $G$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

$n$-арная операция на $G$ — это отображение прямого произведения $n$ экземпляров множества в само множество $G^{n}\to G$. По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы, факторкольца, факторешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфизме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры — уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры». В частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Основные классы алгебраических систем

• Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений.

Группоиды, полугруппы, группы

• Группоид — множество с одной бинарной операцией $\cdot :G\times G\to G$, обычно называемой умножением.
• Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение $x\cdot a=b$ имеет единственное решение для любых $a$ и $b$.
• Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
• Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом $e\in G$, таким, что $a\cdot e=e\cdot a=a$.
• Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$.
• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
• Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a⁻¹, такой, что $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$.
• Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, $a\cdot b=b\cdot a$. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

• Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.
• Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
• Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

• Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
• Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

• Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
• Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры

• Алгебра — линейное пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой линейного пространства
• Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
• Алгебра термов
• Коммутативная алгебра
• Градуированная алгебра
• Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым $[a,b]$), удовлетворяющим тождеству Якоби $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
• Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым $[a,b]$), удовлетворяющим тождеству Якоби $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
• Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$
• Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$ и тождеством эластичности: $x(yx)=(xy)x$
• Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x$
• Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:

  $(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x$

• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

• Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
• Булева алгебра.

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.