Закон Био — Савара — Лапласа

Закон Био́ — Савáра — Лапла́са (также Закон Био́ — Савáра) — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром и сформулирован в общем виде Лапласом. Лаплас показал также, что с помощью этого закона можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда (считая движение одной заряженной частицы током).

Закон Био — Савара — Лапласа играет в магнитостатике ту же роль, что и закон Кулона в электростатике. Закон Био — Савара — Лапласа можно считать главным законом магнитостатики, получая из него остальные её результаты.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля, то есть в современной формулировке уравнения Максвелла выступают как более фундаментальные (прежде всего хотя бы потому, что формулу Био — Савара — Лапласа нельзя просто обобщить на общий случай полей, зависящих от времени).

Закон Био — Савара — Лапласа можно вывести и другими способами, используя, например, лоренцевское преобразование компонент тензора электромагнитного поля из движущейся системы отсчёта, где есть только электрическое поле некоторой системы зарядов, в неподвижную систему отсчёта. При этом оказывается, что магнитное поле в законе Био — Савара — Лапласа определяется с относительной неточностью, по порядку величины равной $v^{2}/c^{2}$, где $c$ есть скорость света, $\mathbf {v}$ обозначает дрейфовую скорость заряженных частиц, входящую в плотность тока $\mathbf {j}$.

Для тока, текущего по контуру (тонкому проводнику)

Пусть постоянный ток $I$ течёт по контуру (проводнику) $\gamma$, находящемуся в вакууме, $\mathbf {r} _{0}$ — точка, в которой ищется (наблюдается) поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в Международной системе единиц (СИ))

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e_{r,r_{o}}} ]}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2}}},$

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, $r$ — положение точек контура $\gamma$, $dr$ — вектор элемента контура (ток течёт вдоль него); $\mu _{0}$ — магнитная постоянная; $\mathbf {e_{r,r_{o}}}$ — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

• В принципе контур $\gamma$ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведённым выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведённого выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).
• В случае простого (неветвящегося) контура (и при выполнении условий магнитостатического приближения, подразумевающих отсутствие накопления зарядов), ток $I$ одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвлённой цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

$d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}$

где ${\vec {r}}$ — вектор, описывающий кривую проводника с током $I$, $r$ — модуль ${\vec {r}}$, $d{\vec {B}}$ — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника $d{\vec {r}}$.

Направление $d\mathbf {B}$ перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ и $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$. Направление вектора магнитной индукции может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта даёт направление $d\mathbf {B}$, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора $d\mathbf {B}$ определяется выражением (в системе СИ)

$dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},$

где $\alpha$ — угол между вектором $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ (радиус-вектором, проведённым от элемента проводника $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ к точке, в которой ищется (наблюдается) поле) и элементом $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ проводника.

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {\mathbf {I} (\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Для распределённых токов

Для случая, когда источником магнитного поля являются распределённые токи, характеризуемые полем вектора плотности тока j, формула закона Био — Савара принимает вид (в системе СИ):

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},$

где j = j(r), dV — элемент объёма, а интегрирование производится по всему пространству (или по всем его областям, где j≠0), r — соответствует текущей точке при интегрировании (положению элемента dV).

Векторный потенциал:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Следствия

Хотя в современном подходе, как правило, сам закон Био — Савара выступает следствием уравнений Максвелла, однако исторически его открытие предшествовало уравнениям Максвелла, поэтому уравнения Максвелла для случая магнитостатики можно рассматривать как следствия закона Био — Савара. С чисто формальной точки зрения в случае магнитостатики оба подхода можно считать равноправными, то есть в этом смысле то, что из них считать исходными положениями, а что следствиями, зависит от выбора аксиоматизации, который в случае магнитостатики может быть тем или другим с равным формальным правом и практически равным удобством.

Основными следствиями закона Био — Савара являются (в указанном выше смысле) уравнения Максвелла для случая магнитостатики, в интегральной форме имеющие вид

$\oint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0$

— вариант теоремы Гаусса для магнитного поля (это уравнение остаётся в электродинамике неизменным и для общего случая)

и

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}I=\mu _{0}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

— уравнение для циркуляции магнитного поля в магнитостатике (здесь дано для случая вакуума, в системе СИ). Эта формула (и вывод её из закона Био — Савара) есть содержание теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля.

Дифференциальная форма этих уравнений:

$\mathrm {div} \mathbf {B} =0,$

$\mathrm {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,$

где j — плотность тока (запись в системе СИ, в гауссовой системе единиц константа вместо $\mu _{0}$ принимает вид ${\frac {4\pi }{c}}.$)

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)

$\operatorname {rot} \,\mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} ,$

$\operatorname {div} \,\mathbf {B} =0,$

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0,$

$\operatorname {div} \,\mathbf {E} =4\pi \rho ,$

где $\mathbf {j}$ — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля (в системе СГС):

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} .$

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

$\operatorname {div} \,\mathbf {A} =0.$

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

$\Delta \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} .$

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {1}{c}}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV.$

Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС)

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\int \left[\nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV=$

$={\frac {1}{c}}\int \limits _{\gamma }{\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV$

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

$\mathbf {j} dV=I\mathbf {dl}$

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Применение

Пусть требуется найти модуль магнитной индукции в центре очень тонкой (все витки уложены вблизи одной окружности) катушки с числом витков $N$, по которой течёт ток $I$. Найдём магнитную индукцию, создаваемую одним витком катушки. Из формулы

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {l}}\times {\vec {r}}]}{r^{3}}}$

получим модуль магнитной индукции как

$dB={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},$

где $r$ — радиус катушки (в данном случае — константа), $\alpha$ — угол между вектором ${\vec {r}}$ (радиус-вектором из центра витка к элементу витка) и $d{\vec {l}}$ (элементом витка) — равен $90^{\circ }$.

Проинтегрировав обе части, получаем

$B={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I}{r^{2}}}\int dl,$

где $\int dl=2\pi r$ — сумма длин всех элементов проводника витка, в данном случае — длина окружности, тогда

$B=\mu _{0}{\frac {I}{2r}}.$

Так как в катушке содержится $N$ витков, то суммарный модуль магнитной индукции равен

$B=\mu _{0}{\frac {IN}{2r}}.$

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5..
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.