Зонная диаграмма

Не следует путать с зонной структурой.

Зо́нная диагра́мма (англ. band diagram) — графическое представление координатной зависимости положений краёв энергетических зон в системах с полупроводниковыми или диэлектрическими материалами. По оси абсцисс откладывается декартова координата $x$, по оси ординат — энергии потолка валентной зоны $E_{v}$ и дна зоны проводимости $E_{c}$. Возможно построение «в числе» или, для демонстрационно-учебных целей, без соблюдения масштаба. Дополнительно нередко наносятся энергия Ферми $E_{F}$, профили уровня вакуума и других значимых энергетических величин, а также вспомогательные изображения электронов, дырок, примесных атомов, дефектов или схем каких-либо процессов.

Зонные диаграммы используются как иллюстрации при рассуждениях о характере распределения приложенного напряжения в полупроводниковой системе, а также о типах переноса электрического заряда (диффузия, дрейф, туннельный эффект, фотовозбуждение и пр.).

Общие правила построения

Правила построения зонных диаграмм рассматриваются в учебных пособиях по физике полупроводниковых приборов и твердотельной электронике.

Зонная диаграмма полупроводниковой гетероструктуры (контакта двух разных полупроводников) без внешнего напряжения.

Зонная диаграмма однородного полупроводника представляет собой две параллельные линии, соответствующие $E_{c}$ и $E_{v}$ (cм. в верхней части рисунка, для двух материалов). Энергетическое расстояние между линиями равно ширине запрещённой зоны $E_{g}$. Состояния выше $E_{c}$ и ниже $E_{v}$ являются разрешёнными. Также показаны сродство к электрону $\chi$ (разность энергий $E_{c}$ и уровня вакуума $E_{vac}$) и работа выхода $\varphi$ (разность $E_{vac}$-$E_{F}$), которая для заданного материала диктуется концентрацией легирующей примеси.

Если к слою материала с высоким удельным сопротивлением, например диэлектрика, приложено напряжение, то диаграмма наклоняется (на рисунке не показано). Наклон $dE_{c}/qdx$ ($q$ — заряд электрона) равен величине электрического поля. Однако если сопротивление невелико, то основная часть напряжения может падать на контактах или же, в системах с комбинациями материалов — на границах.

На стыке материалов должны выполняться такие правила:

• $E_{g}$ и $\chi$ в материале неизменны вплоть до стыка;
• разница в $E_{F}$ слева и справа равна внешнему напряжению;
• уровень вакуума не претерпевает скачка на стыке.

Для обеспечения этих условий (см. нижнюю часть рисунка) требуется изгиб зон слева и справа от стыка, а также разрыв краёв зон: $\Delta E_{\rm {c}}=\chi _{1}-\chi _{2}\,$, $\Delta E_{\rm {v}}=-(\chi _{\rm {1}}+E_{\rm {g1}})+(\chi _{\rm {2}}+E_{\rm {g2}})\,$. Если слева и справа одинаковое вещество с разными концентрациями примеси, то разрывов не будет. Отступ по энергии от $E_{F}$ до краёв зон около стыка отличается от этого же отступа в толще материала. Направление изгиба диктуется величинами напряжения и сродства к электрону, а точно профиль изгиба рассчитывается путём решения уравнения Пуассона (обычно он близок к параболическому).

Примеры с комментариями

Зонная диаграмма p-n-перехода в равновесии.

Зонная диаграмма p-n-перехода.

Зонная диаграмма барьера Шоттки.

Зонная диаграмма полупроводникового гетероперехода.

Зонные диаграммы системы МДМ.

Ниже представлены некоторые примеры реальных систем: p-n-перехода (стыка двух областей одного материала с разными типами легирования), контакта металл—полупроводник (барьера Шоттки), полупроводникового гетероперехода (аналогичного тому, который представлен в предыдущем разделе) и системы МДМ (металл—диэлектрик—металл).

Если напряжение не приложено, во всей системе наличествует единый уровень Ферми $E_{F}$. Если оно приложено, то возникают раздельные квазиуровни Ферми для электронов и дырок, сливающиеся за пределами области стыка. Точные координатные зависимости квазиуровней могут быть рассчитаны.

В случае p-n-перехода, помимо $E_{c}$, $E_{v}$, цветом отмечена область изгиба зон, называемая обеднённой. Параметр $\varphi _{B}$ — это встроенный потенциал, возникающий без приложения внешнего напряжения. Также схематично изображены заряженные (принявшие электрон) акцепторы и заряженные (потерявшие электрон) доноры в области обеднения. На диаграмме при ненулевом напряжении $V_{R}$ ещё представлены профили квазиуровней Ферми $E_{Fn}$, $E_{Fp}$.

В случае контакта Шоттки обозначение $\Phi _{B}$ несёт иной смысл: это высота барьера, образовавшегося из-за требования отсутствия скачка уровня вакуума. Степень легирования полупроводника не влияет на $\Phi _{B}$, но влияет на величину и крутизну изгиба зон в полупроводнике. Интенсивностью серого цвета помечено заполнение электронами состояний с соответствующими энергиями: ниже $E_{F}$ заполнение близко к стопроцентному, а выше уровня Ферми оно сходит на ноль. Для металла края зон не показаны, они находятся значительно ниже поля рисунка.

Заполнение состояний электронами также показано для гетероперехода. Значимой деталью для этой диаграммы является то, что соотношение наклонов $E_{c}(x)$ в месте стыка должно соответствовать обратному отношению диэлектрических проницаемостей сред ввиду граничных условий, вытекающих из уравнений Максвелла.

Диаграммы системы МДМ (работа выхода металла одинакова слева и справа) иллюстрируют ситуацию, когда при приложении напряжения возникает наклон зоны проводимости (валентная зона здесь не показана, она находится ниже рисунка и наклоняется параллельно $E_{c}(x)$). Дополнительно стрелкой отмечено направление туннелирования и затем релаксации электронов (подобная вспомогательная информация часто наносится на такие диаграммы). Горизонтальные линии, завершающие штриховку сверху, — это уровни Ферми слева и справа от диэлектрического барьера.

Выше, на рисунке для p-n-перехода при $V_{R}\neq 0$ подразумевалось, что сопротивление среды не слишком велико. В противном случае далеко слева и справа от стыка областей не могли бы формироваться горизонтальные участки зон — и ситуация трансформировалась бы в похожую на ту, которая изображена для МДМ-системы.

Все представленные диаграммы построены схематично. Дополнительной особенностью является то, что увеличение концентрации примесей всегда приводит к сужению областей изгиба и одновременному повышению величины поля на стыках.

Отличие от структуры зон

Иногда возникает понятийная путаница между зонной диаграммой и зонной структурой, тем более что постоянно встречаются вполне корректные выражения типа «зонная диаграмма такой-то структуры».

Различие в том, что если на зонной диаграмме по горизонтали откладывается координата, то при представлении зонной структуры аргументом выступает волновой вектор электрона ${\vec {k}}$, вернее, какая-то его компонента, скажем $k_{x}$. Назначение изображений структуры зон (см. пример) в том, чтобы показать, применительно к конкретному веществу, как связана энергия электрона $E$ с его волновым вектором ${\vec {k}}$ в диапазонах энергии, лежащих выше $E_{c}$ или ниже $E_{v}$. При работе же с зонными диаграммами можно лишь понять, что эти диапазоны являются вообще «разрешёнными» — без детализации.