Зонная диаграмма

Не следует путать с зонной структурой.

Зо́нная диагра́мма (англ. band diagram) — графическое представление координатной зависимости положений краёв энергетических зон в системах с полупроводниковыми или диэлектрическими материалами. По оси абсцисс откладывается декартова координата $x$, по оси ординат — энергии потолка валентной зоны $E_{v}$ и дна зоны проводимости $E_{c}$. Возможно построение «в числах» или, для демонстрационно-учебных целей, без соблюдения масштаба. Дополнительно нередко наносятся энергия Ферми $E_{F}$, профили уровня вакуума и других значимых энергетических величин, а также вспомогательные изображения электронов, дырок, примесных атомов, дефектов или схем каких-либо процессов.

Зонные диаграммы используются как иллюстрации при рассуждениях о характере распределения приложенного напряжения в полупроводниковой системе, а также о типах переноса электрического заряда (диффузия, дрейф, туннельный эффект, фотовозбуждение и пр.).

Общие правила построения

Правила построения зонных диаграмм рассматриваются в учебных пособиях по физике полупроводниковых приборов и твердотельной электронике.

Зонная диаграмма полупроводниковой гетероструктуры (контакта двух разных полупроводников) без внешнего напряжения.

Зонная диаграмма однородного полупроводника представляет собой две параллельные линии, соответствующие $E_{c}$ и $E_{v}$ (см. в верхней части рисунка, для двух материалов). Энергетическое расстояние между линиями равно ширине запрещённой зоны $E_{g}$. Состояния выше $E_{c}$ и ниже $E_{v}$ являются разрешёнными. Также показаны сродство к электрону $\chi$ (разность энергий $E_{c}$ и уровня вакуума $E_{vac}$) и работа выхода $\varphi$ (разность $E_{vac}$-$E_{F}$), которая для заданного материала диктуется концентрацией легирующей примеси.

Если к слою материала с высоким удельным сопротивлением, например диэлектрика, приложено напряжение, то диаграмма наклоняется. Однако если сопротивление невелико, то основная часть напряжения будет падать на контактах или же, в системах с комбинациями материалов — на границах. Наклон $dE_{c}/qdx$ ($q$ — заряд электрона) равен величине электрического поля.

На стыке материалов должны выполняться такие правила:

• $E_{g}$ и $\chi$ в материале неизменны вплоть до стыка;
• разница в $E_{F}$ слева и справа равна внешнему напряжению;
• уровень вакуума не претерпевает скачка на стыке.

Для обеспечения этих условий требуется изгиб зон слева и справа от стыка, а также разрыв краёв зон: $\Delta E_{\rm {c}}=\chi _{1}-\chi _{2}\,$, $\Delta E_{\rm {v}}=-(\chi _{\rm {1}}+E_{\rm {g1}})+(\chi _{\rm {2}}+E_{\rm {g2}})\,$ (см. нижнюю часть рисунка). Если слева и справа одинаковое вещество с разными концентрациями примеси, то разрывов не будет. Отступ по энергии от $E_{F}$ до краёв зон около стыка отличается от этого же отступа в толще. Направление изгиба определяется величинами напряжения и сродства к электрону, а точно профиль изгиба рассчитывается путём решения уравнения Пуассона (обычно он близок к параболическому).

Примеры с комментариями

Зонная диаграмма p-n-перехода в равновесии.

Зонная диаграмма p-n-перехода.

Зонная диаграмма барьера Шоттки.

Зонная диаграмма полупроводникового гетероперехода.

Зонные диаграммы системы МДМ.

Ниже представлены некоторые примеры реальных систем: p-n-перехода (стыка двух областей одного материала с разными типами легирования), контакта металл—полупроводник (барьера Шоттки), полупроводникового гетероперехода (аналогичного тому, который представлен в предыдущем разделе) и системы МДМ (металл—диэлектрик—металл).

Если напряжение не приложено, во всей системе наличествует единый уровень Ферми $E_{F}$. Если оно приложено, то возникают раздельные квазиуровни Ферми для электронов и дырок, сливающиеся за пределами области стыка. Точные координатные зависимости квазиуровней могут быть рассчитаны.

В случае p-n-перехода, помимо $E_{c}$, $E_{v}$, цветом отмечена область изгиба зон, называемая обеднённой. Параметр $\varphi _{B}$ — это встроенный потенциал, возникающий без приложения внешнего напряжения. Также схематично изображены заряженные (принявшие электрон) акцепторы и заряженные (потерявшие электрон) доноры в области обеднения. На диаграмме при ненулевом напряжении $V_{R}$ ещё представлены профили квазиуровней Ферми $E_{Fn}$, $E_{Fp}$.

В случае контакта Шоттки обозначение $\Phi _{B}$ несёт иной смысл: это высота барьера, образовавшегося из-за требования отсутствия скачка уровня вакуума. Степень легирования полупроводника не влияет на $\Phi _{B}$, но влияет на величину и крутизну изгиба зон в полупроводнике. Интенсивностью серого цвета помечено заполнение электронами состояний с соответствующими энергиями: ниже $E_{F}$ заполнение близко к стопроцентному, а выше уровня Ферми оно сходит на ноль. Для металла края зон не показаны (запрещённой зоны в металле нет и разрешены состояния с любой энергией).

Заполнение состояний электронами также помечено для гетероперехода. Значимой деталью для этой диаграммы является то, что соотношение наклонов $E_{c}(x)$ в месте стыка должно соответствовать обратному отношению диэлектрических проницаемостей сред ввиду граничных условий, вытекающих из уравнений Максвелла.

Диаграммы системы МДМ (работа выхода металла одинакова слева и справа) иллюстрируют ситуацию, когда при приложении напряжения возникает наклон зоны проводимости (валентная зона здесь не показана, она находится ниже рисунка и наклоняется параллельно $E_{c}(x)$). Дополнительно стрелкой отмечено направление туннелирования и затем релаксации электронов (подобная вспомогательная информация часто наносится на такие диаграммы). Горизонтальные линии, завершающие штриховку сверху, — это уровни Ферми слева и справа от диэлектрического барьера.

Выше, на рисунке для p-n-перехода при $V_{R}\neq 0$ подразумевалось, что сопротивление среды не слишком велико. В противном случае далеко слева и справа от стыка областей не могли бы формироваться горизонтальные участки зон — и ситуация трансформировалась бы в похожую на ту, которая изображена для МДМ-системы.

Все представленные диаграммы построены схематично. Дополнительной особенностью является то, что увеличение концентрации примесей всегда приводит к сужению областей изгиба и одновременному повышению величины поля на стыках.

Отличие от структуры зон

Иногда возникает понятийная путаница между зонной диаграммой и зонной структурой, тем более что постоянно встречаются вполне корректные выражения типа «зонная диаграмма такой-то структуры».

Различие в том, что если на зонной диаграмме по горизонтали откладывается координата, то при представлении зонной структуры аргументом выступает волновой вектор электрона ${\vec {k}}$, вернее, какая-то его компонента, скажем $k_{x}$. Назначение изображений структуры зон (см. пример) в том, чтобы показать, применительно к конкретному веществу, как связана энергия электрона $E$ с его волновым вектором ${\vec {k}}$ в диапазонах энергии, лежащих выше $E_{c}$ или ниже $E_{v}$. При работе же с зонными диаграммами можно лишь понять, что эти диапазоны являются вообще «разрешёнными» — без детализации.