Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование $A$ евклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов.

Свойства

• Ортогональные преобразования и только они переводят ортонормированный базис в ортонормированный.
• Необходимым и достаточным условием ортогональности $A$ является также равенство $A^{*}=A^{-1}$, где $A^{*}$ — сопряженное, а $A^{-1}$ — обратное линейные преобразования.
• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы.
• Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю $1$, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные, то есть принадлежащие комплексному расширению вещественного евклидова пространства), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
• Определитель ортогонального преобразования равен $1$ (собственное ортогональное преобразование) или $-1$ (несобственное ортогональное преобразование).
• В произвольном $n$-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства.
  • Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность два

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол $\varphi$, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

${\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.$

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

${\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.$

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

${\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}},$

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

${\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.$

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Для каждого ортогонального преобразования $A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ справедливо такое ортогональное разложение

$\mathbb {R} ^{n}=L_{1}\oplus L_{-1}\oplus E_{\varphi _{1}}\oplus \ldots \oplus E_{\varphi _{k}},$

что $A$ в ограничении на $L_{1}$ равно $1$, в ограничении на $L_{-1}$ преобразование $A$ равно $-1$, все пространства $E_{\varphi _{i}}$ двумерны (плоскости), и в ограничении на $E_{\varphi _{i}}$ преобразование $A$ есть поворот на угол $\varphi _{i}$. Пространства $L_{1},\;L_{-1},\;E_{\varphi _{1}},\;\ldots ,\;E_{\varphi _{k}}$ попарно ортогональны, а сумма их размерностей равна $n$.

См. также

• Ортогональная матрица
• Дискретное ортогональное преобразование