Нотация Лейбница

dy

dx

d²y

dx²

Первая и вторая производные y по x в нотации Лейбница.

Нотация Лейбница — система математических обозначений, разработанная Лейбницем для анализа бесконечно малых и широко используемая в математическом анализе (вместе с рядом других нотаций). Основные символы — $dx$ и $dy$ для представления бесконечно малого приращения $x$ и функции $y$ от переменной $x$ соответственно, а также ${\Delta }x$ и ${\Delta }y$ для конечных приращений $x$ и $y$ соответственно.

Производная $y$ по $x$ ,которая позднее стала рассматриваться как предел

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$,

была, согласно Лейбницу, отношением бесконечно малого приращения $y$ к бесконечно малому приращению $x$:

${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$,

где правая часть является записью для производной функции $f$ по $x$ в нотации Лагранжа. Бесконечно малые приращения называются дифференциалами. С этим понятием связано понятие интеграла, в котором бесконечно малые приращения суммируются (например, для вычисления длины, площади или объёма как суммы крошечных кусочков). Для интеграла Лейбниц предложил тесно связанную нотацию, в которой вовлекаются те же самые дифференциалы. Эта нотация имела важное значение в развитии континентальной европейской математики.

Концепция Лейбница бесконечно малых, долго считавшаяся нестрогой, была со временем заменена строгими формулировками, выработанными Вейерштрассом и другими математиками XIX века. Как следствие, нотация Лейбница в виде дроби, продолжая использоваться, получила интерпретацию не как деление, а через предельное определение. Несколько других формализмов было предложено в XX веке, позволивших придать строгость нотации бесконечно малых величин, включая нестандартный анализ, касательное пространство, «O» большое^{[уточнить]}.

Производные и интегралы математического анализа можно рассматривать с точки зрения современной теории дифференциальных форм, в которой производная есть в самом деле отношение двух дифференциалов, а интеграл ведёт себя точно в соответствии с нотацией Лейбница. Однако, для этого требуется чтобы производная и интеграл были определены в другом смысле, тем самым отражается непротиворечивость и вычислительная эффективность нотации Лейбница.

История

Подход Ньютона — Лейбница к бесконечно малым величинам возник в XVII столетии. В то время как Ньютон работал с флюксиями, Лейбниц основывал свой подход на обобщении сумм и разностей. Лейбниц первым использовал символ $\textstyle \int$. Символ является производным от латинского слова summa («сумма»), которое он писал как ſumma с удлинённой буквой s, которая часто использовалась в Германии того времени. Рассматривая дифференцирование как обратную операцию к суммированию, он использовал символ d, первую букву латинского слова differentia. Лейбниц был привередлив по отношению к обозначениям, тратя годы на экспериментирование, подгонку, отбраковку и согласование с другими математиками. Нотация, которую он использовал для дифференциала y менялась постепенно от ω, l и ${\tfrac {y}{d}}$ до окончательного обозначения dy. Его знак интеграла впервые появился в статье «De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum» (О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных), опубликованной в журнале Acta Eruditorum в июне 1686, но использовался в приватных рукописях по меньшей мере с 1675 года Лейбниц первым использовал обозначение dx в статье «Nova Methodus pro Maximis et Minimis», также опубликованной в журнале Acta Eruditorum в 1684 году. Хотя выражение ${\tfrac {dy}{dx}}$ появилось в частной рукописи 1675 года, оно не появлялось в таком виде в упомянутых опубликованных работах. Лейбниц использовал в печати, однако, выражение в виде dy ad dx и dy : dx.

Английские математики использовали нотацию Ньютона с точкой до 1803 года, когда Роберт Вудхаус опубликовал описание континентальных обозначений. Позднее Аналитическое сообщество Кембриджского университета содействовало адаптации нотации Лейбница.

К концу 19-го столетия последователи Вейерштрасса перестали воспринимать нотацию Лейбница для производных и интегралов буквально. То есть, математики чувствовали, что концепция бесконечно малых содержит логическое противоречие. Некоторые математики 19-го века (Вейерштрасс и другие) нашли логически строгие пути работы с производными и интегралами без бесконечно малых, используя пределы как показано выше, в то время как Коши использовал и бесконечно малые, и пределы (см. Cours d'Analyse). Тем не менее, нотация Лейбница продолжает, в основном, использоваться. Хотя нотацию не следует воспринимать буквально, она обычно проще, чем альтернативные нотации, когда используется техника разделения переменных при решении дифференциальных уравнений. В физике, например, можно рассматривать f(x) в размерности метров в секунду, dx в секундах, так что $f(x)dx$ имеет размерность метры, а потому является значением определённого интеграла. Здесь нотация Лейбница находится в гармонии с анализом размерности.

Нотация Лейбница для дифференцирования

Основная статья: Нотация для дифференцирования

Пусть зависимая переменная y представляет функцию f от независимой переменной x, то есть:

$y=f(x)$.

Тогда производная функции f в нотации Лейбница для дифференцирования может быть записана как:

${\frac {dy}{dx}}$ или ${\frac {d}{dx}}y$ или ${\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}$ .

Выражение Лейбница, записанное как dy/dx, является одним из обозначений производной. Общепринятой альтернативой является обозначение Лагранжа

${\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)$.

Другой альтернативой является нотация Ньютона, часто употребляемая для производной по времени (подобно скорости), которая требует размещения точки над зависимой переменной (в нашем случае, x):

${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}$.

Обозначение «штрих» Лагранжа особенно удобно при обсуждении производной функции и имеет преимущество указания значения производной функции в определённой точке. Однако, обозначение Лейбница имеет свои достоинства, что позволило сохранить популярность через года.

В современной интерпретации выражение ${\tfrac {dy}{dx}}$ не следует читать как отношение двух величин dx и dy (как воображал себе Лейбниц), а как единое выражение символа, который является сокращение для:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

(используется ${\Delta }$, а не d, так как здесь ${\Delta }$ отражает конечную разность, не бесконечно малую).

Выражение можно понимать также как использование дифференциального оператора ${\tfrac {d}{dx}}$ (опять же, единый символ) к переменной y, рассматриваемой как функция от x. Этот оператор записывается как D в нотация Эйлера. Лейбниц не использовал такой вид, но они использовал символ d довольно близко к современной концепции.

Хотя никакого деления нотация не предполагает, обозначение в виде частного полезно во многих ситуациях, оператор взятия производной ведёт себя подобно делению, что позволяет некоторые результаты относительно производной легче понять и запомнить. Эта нотация имеет такой долгий срок жизни благодаря факту, что она достигает самой сути геометрических и механических приложений анализа.

Обозначения Лейбница для производных большего порядка

Если $y=f(x)$, n-я производная функции f в нотации Лейбница задаётся выражением,

$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$.

Эта нотация для второй производной получается путём использования ${\tfrac {d}{dx}}$ как оператора следующим образом:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$.

Третья производная, которую можно записать как:

${\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,$

может быть получена из

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right)$.

Аналогичным образом производные бо́льших порядков могут быть получены по индукции.

Хотя возможно, при аккуратно выбранных определениях, интерпретировать ${\tfrac {dy}{dx}}$ как частное дифференциалов, этого не следует делать для форм большего порядка.

Это обозначение не использовалось Лейбницем. В печатных работах они не использовал ни многоступенчатую запись, ни числовые экспоненты (до 1695). Чтобы записать $x^{3}$, например, он мог написать xxx, что было принято в те времена. Квадрат дифференциала, как он может появиться, например, в формуле длины кривой, записывался как dxdx. Однако, Лейбниц использовал своё обозначение d как мы сейчас использовали бы операторы, а именно, он мог записать вторую производную как ddy, а третью как dddy. В 1695 году Лейбниц начал писать $d^{2}\cdot {x}$ и $d^{3}\cdot {x}$ для $ddx$ и $dddx$ соответственно, но Лопиталь, в своей книге по математическому анализу, написанной примерно в то же время, использовал исходную форму обозначений Лейбница .

Использование в различных формулах

Одна из причин, почему обозначения Лейбница в математическом анализе держатся столь долго, является то, что они позволяют просто вспомнить подходящие формулы, используемые для дифференцирования и интегрирования. Например, дифференцирование сложной функции. Пусть функция g дифференцируема по x и пусть $y=f(u)$ дифференцируема по $u=g(x)$. Композиция функций $y=f(g(x))$ дифференцируема по x и её производная может быть выражена в нотации Лейбница как

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

Это можно обобщить для работы с композицией нескольких подходящим образом определённых связанных функций $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ и можно записать в виде

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.$

Формулу интегрирования подстановкой можно также представить выражением

$\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,$

где x рассматривается как функция от новой переменной u, функция y слева выражена в терминах x, а справа — в терминах u.

Если $y=f(x)$, где f является обратимой дифференцируемой функцией, производная обратной функции, если таковая существует, может быть выражена как,

${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},$

где скобки добавлены для подчёркивания факта, что производная — не частное.

Однако при решении дифференциальных уравнений легко думать о dy и dx отдельно. Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является

$M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,$

где M и N являются непрерывными функциями. Решение (в неявном виде) такого уравнения можно получить путём исследования уравнения в его дифференциальной форме.

$M(x)dx+N(y)dy=0$

После интегрирования получим

$\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.$

Переписывание, где возможно, дифференциального уравнения таким образом и применение предложенной выше аргументации известно как техника разделения переменных для решения таких уравнений.

В каждом из этих случаев нотация Лейбница для производной проявляет себя как деление, даже если в современной интерпретации никакого деления нет.

Современное обоснование бесконечно малых

В 1960-х годах, основываясь на ранних работах Эдвина Хьюита и Ежи Лося, Абрахам Робинсон предложил математическое обоснование для бесконечно малых Лейбница, которое было приемлемым для современных стандартов строгости, и разработал нестандартный анализ основываясь на этих идеях. Методы Робинсона используются небольшим числом математиков. Джероми Кейслер написал учебник для первого курса Elementary calculus: an infinitesimal approach (Начала анализа: подход с использованием бесконечно малых величин) основываясь на подходе Робинсона.

С точки зрения современной теории бесконечно малых ${\Delta }x$ является бесконечно малым приращением x, ${\Delta }y$ является соответствующим приращением y,а производная есть cтандартная часть отношения бесконечно малых:

$f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}$.

Тогда приравниваем $dx=\Delta x$, $dy=f'(x)dx$, так что по определению $f'(x)$ является отношением dy к dx.

Аналогично, хотя большинство математиков понимают интеграл

$\int f(x)\,dx$

как предел

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,$

где ${\Delta }x$ является интервалом, содержащим $x_{i}$, Лейбниц видел его как сумму (символ интеграла для него обозначал суммирование) бесконечно большого числа бесконечно малых величин $f(x)dx$. С точки зрения нестандартного анализа корректно рассматривать интеграл как стандартную часть такой бесконечной суммы.

В обмен, для точности концепции, необходимо расширить множество вещественных чисел до множества гипервещественных чисел.

Другие обозначения Лейбница

Лейбниц экспериментировал со многими различными нотациями в различных областях математики. Он чувствовал, что хорошая нотация служит фундаментальную роль при исследованиях в области математики. В письме Лопиталю в 1693 году он пишет:

Один из секретов анализа состоит в характеристике, то есть в искусстве мастерского использования доступными символами, и вы видите, сэр, что за маленькими барьерами [для определителей] Виета и Декарт не видели всех тайн

Он уточнил со временем свой критерий хорошей нотации и понял значение «использования символизма, который можно записать в строку подобно простой букве без необходимости расширения ширины строк для записи символов с просторными частями.» Например, в своих ранних работах он часто использовал надчёркивание для группировки символов, но позднее он предложил использовать для этого пару скобок, тем самым облегчив труд наборщиков, которым теперь стало не нужно расширять пространство между строками на странице, а страницы стали выглядеть более привлекательно.

Многие из 200 новых символов, введённых Лейбницем, используются и сегодня. Кроме уже упомянутых дифференциалов dx, dy и знака интеграла ($\textstyle \int$) он ввёл также двоеточие (:) для деления, точку ($\cdot$) для умножения, геометрические знаки подобия ($\sim$) и конгруэнтности ($\cong$), использование знака равенства Рекорда (=) для пропорций (взамен нотации Отреда ::) и двойной суффикс для определителей.

См. также

• Нотация Ньютона
• Спор Ньютона и Лейбница о приоритете

Литература

• Florian Cajori. A History of Mathematical Notations. — New York: Dover, 1993. — ISBN 0-486-67766-4.
• Joseph Mazur. Enlightening Symbols / A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — ISBN 978-0-691-17337-5.
• James Stewart. Calculus: Early Transcendentals. — 6th. — Brooks/Cole, 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8.
• Victor J. Katz. A History of Mathematics / An Introduction. — Addison Wesley Longman, 1993. — ISBN 978-0-321-01618-8.
• Frank J. Swetz. Mathematical Treasure: Leibniz’s Papers on Calculus — Integral Calculus. — Mathematical Association of America, 2015. — (Convergence).
• John Stillwell. Mathematics and its History. — Springer, 1989.
• Leibniz G. W. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. — Dover, 2005. — С. 73–74, 80. — ISBN 978-0-486-44596-0.
• Leibniz G. W. Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: // Mathematische Schriften,. — Berlin: Akademie Verlag, 2008. — Т. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676. Страницы 288—295 («Analyseos tetragonisticae pars secunda», October 29, 1675) 321-331 («Methodi tangentium inversae exempla», November 11, 1675) 321-331 esp. 328 («Methodi tangentium inversae exempla», November 11, 1675).</ref>
• Jordan D. W., Smith P. Mathematical Techniques: An Introduction for the Engineering, Physical, and Mathematical Sciences. — Oxford University Press, 2002. — С. 58.
• William Briggs, Lyle Cochran. Calculus / Early Transcendentals / Single Variable. — Addison-Wesley, 2010. — ISBN 978-0-321-66414-3.
• Earl W. Swokowski. Calculus with Analytic Geometry. — Alternate. — Prindle, Weber and Schmidt, 1983. — ISBN 0-87150-341-7.