Липшицево отображение

Липшицево отображение (липшицевское отображение, также $L$-липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в $L$ раз, где $L$ называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.

Определение

Отображение $f$ метрического пространства $(X,\;\rho _{X})$ в метрическое пространство $(Y,\;\rho _{Y})$ называется липшицевым, если найдётся такая константа $L$ (константа Липшица этого отображения), такая, что $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ при любых $x,\;y\in X$. Это условие называют условием Липшица. Отображение с $L=1$ (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Липшицево отображение $f\colon X\to Y$ называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-1}\colon Y\to X$, которое также является липшицевым.

Отображение $f\colon X\to Y$ называется колипшицевым, если существует константа $L$ такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$.

История

Отображения со свойством:

$|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|x-y|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ — условием Гёльдера.

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

• (Лемма о липшицевости) Непрерывно дифференцируемая функция на компактном подмножестве евклидова пространства удовлетворяет условию Липшица. Обратное утверждение не верно.

• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

• Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое $L$-липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до $L$-липшицевского отображения на всё пространство.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$.
• Показатель Гёльдера