Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование, которое для функции имеет вид:
где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а меняется в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.
Данное преобразование является преобразованием свёртки, оно возникает при итерировании преобразования Лапласа. Преобразование Стилтьеса связано также с проблемой моментов для полубесконечного промежутка и, как следствие, с некоторыми цепными дробями.
Если непрерывна и ограничена на , то справедлива формула обращения:
Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом.
Итерирование преобразования Лапласа
Обозначим прямое преобразования Лапласа функции (переменной ) как функцию новой переменной как
Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа
представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интеграла по ).
Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственно из свойств преобразования Лапласа.
Основные свойства и теоремы
Обозначим преобразование Стилтьеса функции как
Соответствующее обратное преобразование обозначим как:
- Умножение оригинала на переменную
В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:
- Разностная производная образов
- Разностная производная оригиналов
При масштабировании переменной оригинала в раз переменная образа также масштабируется в раз:
- Дифференцирование оригинала
Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:
Обобщения
Обобщённое преобразование Стилтьеса
Интегрированное преобразование Стилтьеса
где
Литература
- Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970