Инволюция (математика)

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе: функция $f\colon X\to X$ называется инволюцией, если $f(f(x))=x$ для всякого $x\in X$ . Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Любая инволюция — это биекция. Композиция ${f}\circ {g}$ двух инволюций $f$ и $g$ является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: ${f}\circ {g}=g\circ f$ .

Функция $f(x)=-x$ , заданная на множестве целых $\mathbb {Z}$ , рациональных $\mathbb {Q}$ или вещественных чисел $\mathbb {R}$ является инволюцией. Простейшие инволюции на множестве вещественных чисел $\mathbb {R}$ :

{\dfrac {a}{x}}

,

a-x

,

{\dfrac {x}{x-1}}

,

{\dfrac {x+1}{x-1}}

,

{\dfrac {x-1}{x+1}}

,

{\dfrac {ax+b}{cx-a}}

;

Пример инволюции: $\nu (x)={\begin{cases}{\dfrac {\gamma -1}{\gamma }}x+1,&x\in \left[0;\,\gamma \right]\\{\dfrac {\gamma }{\gamma -1}}\left(x-1\right),&x\in \left[\gamma ;\,1\right]\end{cases}},\,{\text{где }}\gamma <{\dfrac {1}{2}}.$ Функция $\nu \left(x\right)$ непрерывна, монотонно убывает, $\nu \left(0\right)=1$ , $\nu \left(1\right)=0$ , ${\nu }^{2}\left(x\right)=\nu \left(\nu \left(x\right)\right)=x$ . То есть $\nu \left(x\right)$ есть инволюция, производная которой имеет разрыв в точке $x=\gamma$ .

Для всякой инволюции выполняется тождество: $\left(f'\circ f\right)\cdot f'\equiv 1$ .

Инволюциями являются операции дополнения множества и логическое отрицание булевой алгебры, комплексное сопряжение, преобразование Лежандра, геометрическая инверсия.

Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии. Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.

Перестановка $\tau$ является инволюцией, если $\tau \circ \tau =id$ , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например: