Метод трапеций

Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок $\left[a,b\right]$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a)+E(f),\qquad E(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(b-a\right)^{3}.$

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации для элементарного отрезка можно оценить через максимум второй производной

$\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12}}\max _{x\in [a,b]}\left|f''(x)\right|$

(для случаев разбиения отрезка на n частей см. составные формулы ниже).

Составная формула

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок $\left[a,b\right]$ разбивается узлами интегрирования $x_{i}$, $i=0,1,\ldots ,n$, так что $x_{0}=a$ и $x_{n}=b$, и на каждом из элементарных отрезков $[x_{i},x_{i+1}]$ применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}(x_{i+1}-x_{i})=$

$={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+\sum _{i=1}^{n-1}{f(x_{i})}(x_{i+1}-x_{i-1})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).$

Формула Котеса

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки $x_{i}=a+ih$, где $h=(b-a)/n$ — шаг сетки, составная формула трапеций упрощается:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f_{i}\right)+E_{n}(f),$

причём для погрешности справедлива оценка

$E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(b-a)h^{2}.$

Свойства

• Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
• Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также

• Метод прямоугольников
• Формула Симпсона
• Список квадратурных формул

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.