Замкнутое множество

Замкнутое множество — в геометрии, топологии и других связанных областях математики, множество $S$, дополнение $S^{c}$ которого является открытым множеством. Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году.

Множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\tau )$, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. Множество $A\subseteq X$ замкнуто в $X$.
2. $A^{c}=X\setminus A$, является открытым подмножеством $(X,\tau )$, то есть $A^{c}\in \tau$.
3. $A$ совпадает со своим замыканием в $X$.
4. $A$ содержит все свои предельные точки.
5. $A$ содержит все свои граничные точки.

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве $F$ содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества $F$.

Альтернативное определение замкнутого множества вводится с помощью последовательностей и сетей. Так, множество $A$ топологического пространства $X$ замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда любой предел всякой сети из $A$ также лежит в $A$. В пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности(в том числе метрических пространствах) достаточно доказать сходимость всех последовательностей, вместо сетей. Одним из достоинств этого определения является возможность определить пространства сходимости — обобщения топологических пространств. Стоит заметить, что такое определение зависит от окружающего пространства $X$, так как сходимость последовательности или сети зависит от точек, содержащихся в $X$. Будем говорить, что точка $x\in X$ близка к множеству $A\subseteq X$, если $x\in \mathrm {cl} _{X}A$, где $\mathrm {cl} _{X}A$ означает замыкание $A$ в $X$. Тогда можно непосредственно определить замкнутые множества:

множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои близкие точки

В терминах сходимости сетей, точка $x\in X$ близка к $A$, только если существует сеть в $A$, сходящаяся к $x$.

Замкнутые множества можно также определить через непрерывные функции: отображение $f:X\rightarrow Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $\forall A\subseteq X:f(\mathrm {cl} _{X}A)\subseteq \mathrm {cl_{Y}} (f(A))$, то есть близкие точки $A$ при $f$ переводятся в близкие точки образа $f$.

Подробнее о замкнутых множествах

Выше, понятие замкнутого множество было дано в терминах открытых множеств, которое справедливо в контексте топологических пространств и пространств, несущих топологическую структуру.

Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Так, например, компактные хаусдорфовы пространства являются «абсолютно замкнутыми» в том смысле, что при вложении компактного хаусдорфова пространства $D$ в произвольное хаусдорфово пространство $X$, $D$ будет всегда замкнуто в $X$. В этом смысле, компактификация Стоуна-Чеха может быть описана, как дополнение пространства пределами расходящихся сетей.

Замкнутые множества дают удобное определение компактности: топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда всякое семейство непустых замкнутых подмножеств $X$ с пустым пересечением допускает конечное подсемейство с пустым пересечением.

Топологическое пространство $X$ несвязно, если существуют непересекающиеся непустые открытые множества $A,B\subset X$, объединение которых есть $X$.

Свойства

• Замкнутое множество содержит свою границу. Это справедливо в том числе для множеств с пустой границей.
• Любое пересечение счётного количества замкнутых множеств также замкнуто.
• Объединение конечного количества замкнутых множеств замкнуто.
• Само множество и пустое множество являются замкнутыми.

Множества, полученные объединением счётного числа множеств называются F-сигма-множествами или $F_{\sigma }$.

Примеры

• Замкнутый промежуток $[a,b]$ числовой прямой замкнут.
• Единичный отрезок $[0,1]$ замкнут в метрическом пространстве над $\mathbb {R}$, и множество $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ замкнуто в $\mathbb {Q}$, но открыто в $\mathbb {R}$.
• Множество $[0,1)$ ни замкнуто, ни открыто.
• Луч $[1,+\infty )$ замкнут.
• Канторово множество является необычным примером замкнутого множества, состоящего только из своих граничных точек, являясь при этом нигде не плотным.
• Одноточечные множества замкнуты в пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме отделимости, и хаусдорфовых пространствах.
• Множество целых чисел $\mathbb {Z}$ является бесконечным и неограниченным замкнутым множеством в $\mathbb {R}$.
• Отображение $f:X\rightarrow Y$ между топологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств $Y$ замкнуты в $X$.

См. также

• Открыто-замкнутое множество
• Открытое множество
• Окрестность

Литература

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. Convergence Foundations Of Topology (англ.). — New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. — ISBN 978-981-4571-52-4.
• Dugundji, James. Topology (англ.). — Boston: Allyn and Bacon, 1966. — ISBN 978-0-697-06889-7.
• Schechter, Eric. Handbook of Analysis and Its Foundations (англ.). — San Diego, CA: Academic Press, 1996. — ISBN 978-0-12-622760-4.