Метод Ньютона

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Описание метода

Вывод

Чтобы численно решить уравнение $f(x)=0$ методом простой итерации, его необходимо привести к эквивалентному уравнению: $x=\varphi (x)$, где $\varphi$ — сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения $x^{*}$ должно выполняться условие $\varphi '(x^{*})=0$. Решение данного уравнения ищут в виде $\varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)$, тогда:

$\varphi '(x^{*})=1+\alpha '(x^{*})f(x^{*})+\alpha (x^{*})f'(x^{*})=0.$

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню ${\tilde {x}}$ и что заданная функция непрерывна $(f(x^{*})\approx f({\tilde {x}})=0)$, окончательная формула для $\alpha (x)$ такова:

$\alpha (x)=-{\frac {1}{f'(x)}}.$

С учётом этого функция $\varphi (x)$ определяется:

$\varphi (x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}.$

При некоторых условиях эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение.

Доказательство

Пусть дана функция вещественного переменного дважды непрерывно дифференцируемая в своей области определения, производная которой нигде не обращается в нуль:

$\scriptstyle {f(x)\colon \mathbb {X} \to \mathbb {R} ,\;f(x)\in \mathrm {C} ^{2}(\mathbb {X} );\quad \forall x\in \mathbb {X} \;f'(x)\neq 0.}$

И необходимо доказать, что функция $\scriptstyle {\varphi (x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}}$ осуществляет сжимающее отображение вблизи корня уравнения $\scriptstyle {f(x)=0}$.

В силу непрерывной дифференцируемости функции $\scriptstyle {f(x)}$ и неравенства нулю её первой производной $\scriptstyle {\varphi (x)}$ непрерывна.

Производная $\scriptstyle {\varphi '(x)}$ равна:

$\scriptstyle {\varphi '(x)={\frac {f(x)f''(x)}{\left(f'(x)\right)^{2}}}.}$

В условиях, наложенных на $\scriptstyle {f(x)}$, она также непрерывна. Пусть $\scriptstyle {\tilde {x}}$ — искомый корень уравнения: $\scriptstyle {f({\tilde {x}})=0}$, следовательно в его окрестности $\scriptstyle {\varphi '(x)\approx 0}$:

$\scriptstyle {\forall \varepsilon \colon 0<\varepsilon <1,\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {X} \;|x-{\tilde {x}}|<\delta \colon |\varphi '(x)-0|<\varepsilon .}$

Тогда согласно теореме Лагранжа:

$\scriptstyle {\forall x_{1},\;x_{2}\in \mathrm {U} _{\delta }({\tilde {x}})\;\exists \xi \in \mathrm {U} _{\delta }({\tilde {x}})\colon |\varphi (x_{1})-\varphi (x_{2})|=|\varphi '(\xi )||x_{1}-x_{2}|<\varepsilon |x_{1}-x_{2}|.}$

В силу того, что $\scriptstyle {\varphi ({\tilde {x}})={\tilde {x}}}$ в этой же дельта окрестности выполняется:

$\scriptstyle {\forall x\in U_{\delta }({\tilde {x}})\colon \;|\varphi (x)-{\tilde {x}}|<\varepsilon |x-{\tilde {x}}|.}$

Таким образом полученная функция $\scriptstyle {\varphi (x)}$ в окрестности корня $\scriptstyle {U_{\delta }({\tilde {x}})}$ осуществляет сжимающее отображение.■

В этом случае алгоритм нахождения численного решения уравнения $f(x)=0$ сводится к итерационной процедуре вычисления:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.$

По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения $f(x)=0$.

Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция $\scriptstyle {f(x)}$, ноль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения $\scriptstyle {x_{n}}$). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение $\scriptstyle {x_{n+1}}$ лучше предыдущего $\scriptstyle {x_{n}}$.

Геометрическая интерпретация

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к графику исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть 1) вещественнозначная функция $f(x)\colon (a,\,b)\to \mathbb {R}$ непрерывно дифференцируема на интервале $(a,\,b)$ ;
2) существует искомая точка $x^{*}\in (a,\,b)$ : $f(x^{*})=0$ ;
3) существуют $C>0$ и $\delta >0$ такие, что
$\vert f'(x)\vert \geqslant C$ для $x\in (a,\,x^{*}-\delta ]\cup [x^{*}+\delta ,\,b)$
и $f'(x)\neq 0$ для $x\in (x^{*}-\delta ,\,x^{*})\cup (x^{*},\,x^{*}+\delta )$ ;
4) точка $x_{n}\in (a,\,b)$ такова, что $f(x_{n})\neq 0$ .
Тогда формула итеративного приближения $x_{n}$ к $x^{*}$ может быть выведена из геометрического смысла касательной следующим образом:

$f'(x_{n})=\mathrm {tg} \,\alpha _{n}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{n})-0}{x_{n}-x_{n+1}}}={\frac {0-f(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}},$

где $\alpha _{n}$ — угол наклона касательной прямой $y(x)=f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \mathrm {tg} \,\alpha _{n}$ к графику $f$ в точке $(x_{n};f(x_{n}))$ .

Следовательно (в уравнении касательной прямой полагаем $y(x_{n+1})=0$) искомое выражение для $x_{n+1}$ имеет вид :

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.$

Если $x_{n+1}\in (a,\,b)$, то это значение можно использовать в качестве следующего приближения к $x^{*}$ .

Если $x_{n+1}\notin (a,\,b)$, то имеет место «перелёт» (корень $x^{*}$ лежит рядом с границей $(a,\,b)$). В этом случае надо (воспользовавшись идеей метода половинного деления) заменять $x_{n+1}$ на ${\frac {x_{n}+x_{n+1}}{2}}$ до тех пор, пока точка «не вернётся» в область поиска $(a,\,b)$ .

Замечания. 1) Наличие непрерывной производной даёт возможность строить непрерывно меняющуюся касательную на всей области поиска решения $(a,\,b)\;$ .
2) Случаи граничного (в точке $a$ или в точке $b$) расположения искомого решения $x^{*}$ рассматриваются аналогичным образом.
3) С геометрической точки зрения равенство $f'(x_{n})=0$ означает, что касательная прямая к графику $f$ в точке $(x_{n};f(x_{n}))$ - параллельна оси $OX$ и при $f(x_{n})\neq 0$ не пересекается с ней в конечной части.
4) Чем больше константа $C>0$ и чем меньше константа $\delta >0$ из пункта 3 условий, тем для $x_{n}\in (a,\,x^{*}-\delta ]\cup [x^{*}+\delta ,\,b)$ пересечение касательной к графику $f$ и оси $OX$ ближе к точке $(x^{*};\;0)$ , то есть тем ближе значение $x_{n+1}$ к искомой $x^{*}\in (a,\,b)$ .

Итерационный процесс начинается с некоторого начального приближения $x_{0}\in (a,\,b)$ , причём между $x_{0}\in (a,\,b)$ и искомой точкой $x^{*}\in (a,\,b)$ не должно быть других нулей функции $f$ , то есть «чем ближе $x_{0}$ к искомому корню $x^{*}$ , тем лучше». Если предположения о нахождении $x^{*}$ отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях.

Для предварительно заданных $\varepsilon _{x}>0$ , $\varepsilon _{f}>0$ итерационный процесс завершается если $\left\vert {\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\right\vert \approx \vert x_{n+1}-x_{n}\vert <\varepsilon _{x}$ и $\vert f(x_{n+1})\vert <\varepsilon _{f}$ .
В частности, для матрицы дисплея $\varepsilon _{x}$ и $\varepsilon _{f}$ могут быть рассчитаны, исходя из масштаба отображения графика $f$ , то есть если $x_{n}$ и $x_{n+1}$ попадают в один вертикальный, а $f(x_{n})$ и $f(x_{n+1})$ в один горизонтальный ряд.

Алгоритм

1. Задается начальное приближение $x_{0}$.
2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого следует взять $\left\vert {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{1-{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}-x_{n-1}}}}}\right\vert <\varepsilon$, где $\varepsilon$ выполняет роль абсолютной погрешности (так как метод Ньютона является частным случаем метода простой итерации), вычисляют новое приближение: $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$.

Пример

Иллюстрация применения метода Ньютона к функции $f(x)=\cos x-x^{3}$ с начальным приближением в точке $x_{0}=0{,}5$.
График последовательных приближений.	График сходимости.
Согласно способу практического определения скорость сходимости может быть оценена как тангенс угла наклона графика сходимости, то есть в данном случае равна двум.

Рассмотрим задачу о нахождении положительных $x$, для которых $\cos x=x^{3}$. Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции $f(x)=\cos x-x^{3}$. Имеем выражение для производной $f'(x)=-\sin x-3x^{2}$. Так как $\cos x\leqslant 1$ для всех $x$ и $x^{3}>1$ для $x>1$, очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение $x_{0}=0{,}5$, тогда:

${\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&1{,}112\;141\;637\;097,\\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&{\underline {0{,}}}909\;672\;693\;736,\\x_{3}&=&x_{2}-{\dfrac {f(x_{2})}{f'(x_{2})}}&=&{\underline {0{,}86}}7\;263\;818\;209,\\x_{4}&=&x_{3}-{\dfrac {f(x_{3})}{f'(x_{3})}}&=&{\underline {0{,}865\;47}}7\;135\;298,\\x_{5}&=&x_{4}-{\dfrac {f(x_{4})}{f'(x_{4})}}&=&{\underline {0{,}865\;474\;033\;1}}11,\\x_{6}&=&x_{5}-{\dfrac {f(x_{5})}{f'(x_{5})}}&=&{\underline {0{,}865\;474\;033\;102}}.\end{matrix}}$

Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры. Видно, что их количество от шага к шагу растёт (приблизительно удваиваясь с каждым шагом): от 1 к 2, от 2 к 5, от 5 к 10, иллюстрируя квадратичную скорость сходимости.

Условия применения

Иллюстрация расхождения метода Ньютона, применённого к функции $\scriptstyle {f(x)=x^{3}-2x+2}$ с начальным приближением в точке $\scriptstyle {x_{0}=0}$.

Рассмотрим ряд примеров, указывающих на недостатки метода.

Контрпримеры

• Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись.

Пусть

$f(x)=x^{3}-2x+2.$

Тогда

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{3}-2x_{n}+2}{3x_{n}^{2}-2}}.$

Возьмём ноль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст ноль. Метод зациклится и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным.

График производной функции $\scriptstyle {f(x)=x+x^{2}\sin(2/x)}$ при приближении $\scriptstyle {x}$ к нулю справа.

• Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

Рассмотрим функцию:

$f(x)={\begin{cases}0,&x=0,\\x+x^{2}\sin \left({\dfrac {2}{x}}\right),&x\neq 0.\end{cases}}$

Тогда $f'(0)=1$ и $f'(x)=1+2x\sin(2/x)-2\cos(2/x)$ всюду, кроме 0.

В окрестности корня производная меняет знак при приближении $x$ к нулю справа или слева. В то время, как $f(x)\geqslant x-x^{2}>0$ для $0<x<1$.

Таким образом $f(x)/f'(x)$ не ограничено вблизи корня, и метод будет расходиться, хотя функция всюду дифференцируема, её производная не равна нулю в корне, $f$ бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне, а её производная ограничена в окрестности корня.

• Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

Рассмотрим пример:

$f(x)=x+x^{4/3}.$

Тогда $f'(x)=1+(4/3)x^{1/3}$ и $f''(x)=(4/9)x^{-2/3}$ за исключением $x=0$, где она не определена.

На очередном шаге имеем $x_{n}$:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {(1/3)x_{n}^{4/3}}{(1+(4/3)x_{n}^{1/3})}}.$

Скорость сходимости полученной последовательности составляет приблизительно 4/3. Это существенно меньше, нежели 2, необходимое для квадратичной сходимости, поэтому в данном случае можно говорить лишь о линейной сходимости, хотя функция всюду непрерывно дифференцируема, производная в корне не равна нулю, и $f$ бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне.

• Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Пусть

$f(x)=x^{2}.$

Тогда $f'(x)=2x$ и следовательно $x-f(x)/f'(x)=x/2$. Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема.

Ограничения

Пусть задано уравнение $f(x)=0$, где $f(x)\colon \mathbb {X} \to \mathbb {R}$ и надо найти его решение.

Ниже приведена формулировка основной теоремы, которая позволяет дать чёткие условия применимости. Она носит имя советского математика и экономиста Леонида Витальевича Канторовича (1912—1986).

Теорема Канторовича.

Если существуют такие константы $A,\;B,\;C$, что:

1. ${\frac {1}{|f'(x)|}}<A$ на $[a,\;b]$, то есть $f'(x)$ существует и не равна нулю;
2. $\left|{\frac {f(x)}{f'(x)}}\right|<B$ на $[a,\;b]$, то есть $f(x)$ ограничена;
3. $\exists f''(x)$ на $[a,\;b]$, и $|f''(x)|\leqslant C\leqslant {\frac {1}{2AB}}$;

Причём длина рассматриваемого отрезка $|a-b|<{\frac {1}{AB}}\left(1-{\sqrt {1-2ABC}}\right)$. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. на $[a,\;b]$ существует корень $x^{*}$ уравнения $f(x)=0\colon \exists x^{*}\in [a,\;b]\colon f(x^{*})=0$;
2. если $x_{0}={\frac {a+b}{2}}$, то итерационная последовательность сходится к этому корню: $\left\{x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\right\}\to x^{*}$;
3. погрешность может быть оценена по формуле $|x^{*}-x_{n}|\leqslant {\frac {B}{2^{n-1}}}(2ABC)^{2^{n-1}}$.

Из последнего из утверждений теоремы в частности следует квадратичная сходимость метода:

$|x^{*}-x_{n}|\leqslant {\frac {B}{2^{n-1}}}(2ABC)^{2^{n-1}}={\frac {1}{2}}{\frac {B}{2^{n-2}}}\left((2ABC)^{2^{n-2}}\right)^{2}=\alpha |x^{*}-x_{n-1}|^{2}.$

Тогда ограничения на исходную функцию $f(x)$ будут выглядеть так:

1. функция должна быть ограничена;
2. функция должна быть гладкой, дважды дифференцируемой;
3. её первая производная $f'(x)$ равномерно отделена от нуля;
4. её вторая производная $f''(x)$ должна быть равномерно ограничена.

Историческая справка

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов» (лат. «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas»), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» (лат. «De metodis fluxionum et serierum infinitarum») или «Аналитическая геометрия» (лат. «Geometria analytica») в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения $x_{n}$, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение $x$.

Этот же метод применён Ньютоном в его трактате "Математические начала" для решения уравнения Кеплера, где Ньютон предложил вполне современную аналитическую форму вычисления, записав последовательность приближений в виде переразлагаемого в каждой новой точке аналитического ряда:

ряд ... сходится настолько быстро, что едва ли когда-нибудь понадобится идти в нём далее второго члена ...

—

Впервые метод был опубликован в трактате «Алгебра» Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе «Общий анализ уравнений» (лат. «Analysis aequationum universalis»). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений $x_{n}$ вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В 1879 году Артур Кэли в работе «Проблема комплексных чисел Ньютона — Фурье» (англ. «The Newton-Fourier imaginary problem») был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.

Обобщения и модификации

Иллюстрация последовательных приближений метода одной касательной, применённого к функции $\scriptstyle {f(x)=e^{x}-2}$ с начальным приближением в точке $\scriptstyle {x_{0}=1{,}8}$.

Метод секущих

Родственный метод секущих является «приближённым» методом Ньютона и позволяет не вычислять производную. Значение производной в итерационной формуле заменяется её оценкой по двум предыдущим точкам итераций:

$f'(x_{n})\approx {\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}$ .

Таким образом, основная формула имеет вид

$x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot {\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}.$

Этот метод схож с методом Ньютона, но имеет немного меньшую скорость сходимости. Порядок сходимости метода равен золотому сечению — 1,618…

Замечания. 1) Для начала итерационного процесса требуются два различных значения $x_{0}$ и $x_{1}$ .
2) В отличие от «настоящего метода Ньютона» (метода касательных), требующего хранить только $x_{n}$ (и в ходе вычислений — временно $f(x_{n})$ и $f'(x_{n})$), для метода секущих требуется сохранение $x_{n-1}$ , $x_{n}$ , $f(x_{n-1})$ , $f(x_{n})$ .
3) Применяется, если вычисление $f'(x)$ затруднено (например, требует большого количества машинных ресурсов: времени и/или памяти).

Метод одной касательной

В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной.

Формула итераций этого метода имеет вид:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1}{f'(x_{0})}}f(x_{n}).$

Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения $x_{0}$, а затем использовать это значение на каждой последующей итерации:

$\alpha (x)=\alpha _{0}=-{\dfrac {1}{f'(x_{0})}}.$

При таком выборе $\alpha _{0}$ в точке $x_{0}$ выполнено равенство:

$\varphi '(x_{0})=1+\alpha _{0}f'(x_{0})=0,$

и если отрезок, на котором предполагается наличие корня $x^{*}$ и выбрано начальное приближение $x_{0}$, достаточно мал, а производная $\varphi '(x)$ непрерывна, то значение $\varphi '(x^{*})$ будет не сильно отличаться от $\varphi '(x_{0})=0$ и, следовательно, график $y=\varphi (x)$ пройдёт почти горизонтально, пересекая прямую $y=x$, что в свою очередь обеспечит быструю сходимость последовательности точек приближений к корню.

Этот метод является частным случаем метода простой итерации. Он имеет линейный порядок сходимости.

Метод Ньютона-Фурье

Метод Ньютона-Фурье - это расширение метода Ньютона, выведенное Жозефом Фурье для получения оценок на абсолютную ошибку аппроксимации корня, в то же время обеспечивая квадратичную сходимость с обеих сторон.

Предположим, что f(x) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] и что f имеет корень на этом интервале. Дополнительно положим, что f′(x), f″(x) ≠ 0 на этом отрезке (например, это верно, если f(a) < 0, f(b) > 0, и f″(x) > 0 на этом отрезке). Это гарантирует наличие единственного корня на этом отрезке, обозначим его α. Эти рассуждения относятся к вогнутой вверх функции. Если она вогнута вниз, то заменим f(x) на −f(x), поскольку они имеют одни и те же корни.

Пусть x₀ = b будет правым концом отрезка, на котором мы ищем корень, а z₀ = a - левым концом того же отрезка. Если x_n найдено, определим

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}},$

которое выражает обычный метод Ньютона, как описано выше. Затем определим

$z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(x_{n})}},$

где знаменатель равен f′(x_n), а не f′(z_n). Итерации x_n будут строго убывающими к корню, а итерации z_n - строго возрастающими к корню. Также выполняется следующее соотношение:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-z_{n+1}}{(x_{n}-z_{n})^{2}}}={\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}}$,

таким образом, расстояние между x_n и z_n уменьшается квадратичным образом.

Многомерный случай

Обобщим полученный результат на многомерный случай.

Пусть необходимо найти решение системы:

$\left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&=&0,\\\ldots &&\\f_{m}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&=&0.\end{array}}\right.$

Выбирая некоторое начальное значение ${\vec {x}}^{[0]}$, последовательные приближения ${\vec {x}}^{[j+1]}$ находят путём решения систем уравнений:

$f_{i}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(x_{k}^{[j+1]}-x_{k}^{[j]})=0,\qquad i=1,\;2,\;\ldots ,\;m,$

где ${\vec {x}}^{[j]}=(x_{1}^{[j]},\;x_{2}^{[j]},\;\ldots ,\;x_{n}^{[j]}),\quad j=0,\;1,\;2,\;\ldots$.

Применительно к задачам оптимизации

Пусть необходимо найти минимум функции многих переменных $f({\vec {x}})\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$. Эта задача равносильна задаче нахождения нуля градиента $\nabla f({\vec {x}})$. Применим изложенный выше метод Ньютона:

$\nabla f({\vec {x}}^{[j]})+H({\vec {x}}^{[j]})({\vec {x}}^{[j+1]}-{\vec {x}}^{[j]})=0,\quad j=1,\;2,\;\ldots ,\;n,$

где $H({\vec {x}})$ — гессиан функции $f({\vec {x}})$.

В более удобном итеративном виде это выражение выглядит так:

${\vec {x}}^{[j+1]}={\vec {x}}^{[j]}-H^{-1}({\vec {x}}^{[j]})\nabla f({\vec {x}}^{[j]}).$

В случае квадратичной функции метод Ньютона находит экстремум за одну итерацию.

Нахождение матрицы Гессе связано с большими вычислительными затратами, и зачастую не представляется возможным. В таких случаях альтернативой могут служить квазиньютоновские методы, в которых приближение матрицы Гессе строится в процессе накопления информации о кривизне функции.

Метод Ньютона — Рафсона

Метод Ньютона — Рафсона является улучшением метода Ньютона нахождения экстремума, описанного выше. Основное отличие заключается в том, что на очередной итерации каким-либо из методов одномерной оптимизации выбирается оптимальный шаг:

${\vec {x}}^{[j+1]}={\vec {x}}^{[j]}-\lambda _{j}H^{-1}({\vec {x}}^{[j]})\nabla f({\vec {x}}^{[j]}),$

где $\lambda _{j}=\arg \min _{\lambda }f({\vec {x}}^{[j]}-\lambda H^{-1}({\vec {x}}^{[j]})\nabla f({\vec {x}}^{[j]})).$ Для оптимизации вычислений применяют следующее улучшение: вместо того, чтобы на каждой итерации заново вычислять гессиан целевой функции, ограничиваются начальным приближением $H(f({\vec {x}}^{[0]}))$ и обновляют его лишь раз в $m$ шагов, либо не обновляют вовсе.

Применительно к задачам о наименьших квадратах

На практике часто встречаются задачи, в которых требуется произвести настройку свободных параметров объекта или подогнать математическую модель под реальные данные. В этих случаях появляются задачи о наименьших квадратах:

$F({\vec {x}})=\|{\vec {f}}({\vec {x}})\|=\sum _{i=1}^{m}f_{i}^{2}({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{m}(\varphi _{i}({\vec {x}})-{\mathcal {F}}_{i})^{2}\to \min .$

Эти задачи отличаются особым видом градиента и матрицы Гессе:

$\nabla F({\vec {x}})=2J^{T}({\vec {x}}){\vec {f}}({\vec {x}}),$

$H({\vec {x}})=2J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})+2Q({\vec {x}}),\qquad Q({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{m}f_{i}({\vec {x}})H_{i}({\vec {x}}),$

где $J({\vec {x}})$ — матрица Якоби вектор-функции ${\vec {f}}({\vec {x}})$, $H_{i}({\vec {x}})$ — матрица Гессе для её компоненты $f_{i}({\vec {x}})$.

Тогда очередной шаг ${\vec {p}}$ определяется из системы:

$\left[J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})+\sum _{i=1}^{m}f_{i}({\vec {x}})H_{i}({\vec {x}})\right]{\vec {p}}=-J^{T}({\vec {x}}){\vec {f}}({\vec {x}}).$

Метод Гаусса — Ньютона

Основная статья: Алгоритм Гаусса — Ньютона

Метод Гаусса — Ньютона строится на предположении о том, что слагаемое $J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})$ доминирует над $Q({\vec {x}})$. Это требование не соблюдается, если минимальные невязки велики, то есть если норма $\|{\vec {f}}({\vec {x}})\|$ сравнима с максимальным собственным значением матрицы $J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})$. В противном случае можно записать:

$J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}}){\vec {p}}=-J^{T}({\vec {x}}){\vec {f}}({\vec {x}}).$

Таким образом, когда норма $\|Q({\vec {x}})\|$ близка к нулю, а матрица $J({\vec {x}})$ имеет полный столбцевой ранг, шаг ${\vec {p}}$ мало отличается от ньютоновского (с учётом $Q({\vec {x}})$), и метод может достигать квадратичной скорости сходимости, хотя вторые производные и не учитываются. Улучшением метода является алгоритм Левенберга — Марквардта, основанный на эвристических соображениях.

Обобщение на комплексную плоскость

Бассейны Ньютона для полинома пятой степени $\scriptstyle {p(x)=x^{5}-1}$. Разными цветами закрашены области притяжения для разных корней. Более тёмные области соответствуют большему числу итераций.

До сих пор в описании метода использовались функции, осуществляющие отображения в пределах множества вещественных значений. Однако метод может быть применён и для нахождения нуля функции комплексной переменной. При этом процедура остаётся неизменной:

$z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(z_{n})}}.$

Особый интерес представляет выбор начального приближения $z_{0}$. Ввиду того, что функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям, и вполне естественно возникает желание выяснить, какие области обеспечат сходимость к тому или иному корню. Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году, однако разрешить его смогли лишь в 70-х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.

Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.

Реализация

Scala

object NewtonMethod {

  val accuracy = 1e-6

  @tailrec
  def method(x0: Double, f: Double => Double, dfdx: Double => Double, e: Double): Double = {
    val x1 = x0 - f(x0) / dfdx(x0)
    if (abs(x1 - x0) < e) x1
    else method(x1, f, dfdx, e)
  }

  def g(C: Double) = (x: Double) => x*x - C

  def dgdx(x: Double) = 2*x

  def sqrt(x: Double) = x match {
    case 0 => 0
    case x if (x < 0) => Double.NaN
    case x if (x > 0) => method(x/2, g(x), dgdx, accuracy) 
  }
}

Python

from math import sin, cos
from typing import Callable
import unittest


def newton(f: Callable[[float], float], f_prime: Callable[[float], float], x0: float, 
	eps: float=1e-7, kmax: int=1e3) -> float:
	"""
	solves f(x) = 0 by Newton's method with precision eps
	:param f: f
	:param f_prime: f'
	:param x0: starting point
	:param eps: precision wanted
	:return: root of f(x) = 0
	"""
	x, x_prev, i = x0, x0 + 2 * eps, 0
	
	while abs(x - x_prev) >= eps and i < kmax:
		x, x_prev, i = x - f(x) / f_prime(x), x, i + 1

	return x


class TestNewton(unittest.TestCase):
	def test_0(self):
		def f(x: float) -> float:
			return x**2 - 20 * sin(x)


		def f_prime(x: float) -> float:
			return 2 * x - 20 * cos(x)


		x0, x_star = 2, 2.7529466338187049383

		self.assertAlmostEqual(newton(f, f_prime, x0), x_star)


if __name__ == '__main__':
	unittest.main()

PHP

<?php
// PHP 5.4
function newtons_method(
	$a = -1, $b = 1, 
	$f = function($x) {
	
		return pow($x, 4) - 1;
	
	},
	$derivative_f = function($x) {

		return 4 * pow($x, 3);
	
	}, $eps = 1E-3) {

        $xa = $a;
        $xb = $b;

        $iteration = 0;

        while (abs($xb) > $eps) {

            $p1 = $f($xa);
            $q1 = $derivative_f($xa);
            $xa -= $p1 / $q1;
            $xb = $p1;
            ++$iteration;

        }

        return $xa;

}

Octave

function res = nt()
  eps = 1e-7;
  x0_1 = [-0.5,0.5];
  max_iter = 500;
  xopt = new(@resh, eps, max_iter);   
  xopt
endfunction
function a = new(f, eps, max_iter)
  x=-1;
  p0=1;
  i=0;
 while (abs(p0)>=eps)
    [p1,q1]=f(x);
    x=x-p1/q1;
   p0=p1;
   i=i+1;
 end
 i
 a=x;
endfunction
function[p,q]= resh(x)   % p= -5*x.^5+4*x.^4-12*x.^3+11*x.^2-2*x+1;
   p=-25*x.^4+16*x.^3-36*x.^2+22*x-2;
   q=-100*x.^3+48*x.^2-72*x+22;
endfunction

Delphi

// вычисляемая функция
function fx(x: Double): Double;
begin
  Result := x * x - 17;
end;

// производная функция от f(x)
function dfx(x: Double): Double;
begin
  Result := 2 * x;
end;

function solve(fx, dfx: TFunc<Double, Double>; x0: Double): Double;
const
  eps = 0.000001;
var
  x1: Double;
begin
  x1 := x0 - fx(x0) / dfx(x0); // первое приближение
  while (Abs(x1-x0) > eps) do begin // пока не достигнута точность 0.000001
    x0 := x1;
    x1 := x1 - fx(x1) / dfx(x1); // последующие приближения
  end;
  Result := x1;
end;

// Вызов
solve(fx, dfx,4));

C++

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define eps 0.000001
double fx(double x) { return x * x - 17;} // вычисляемая функция
double dfx(double x) { return 2 * x;} // производная функции

typedef double(*function)(double x); // задание типа function

double solve(function fx, function dfx, double x0) {
  double x1  = x0 - fx(x0) / dfx(x0); // первое приближение
  while (fabs(x1 - x0) > eps) { // пока не достигнута точность 0.000001
    x0 = x1;
    x1 = x0 - fx(x0) / dfx(x0); // последующие приближения
  }
  return x1;
}

int main () {
  printf("%f\n", solve(fx, dfx, 4)); // вывод на экран
  return 0;
}

C

typedef double (*function)(double x);

double TangentsMethod(function f, function df, double xn, double eps) {
   double x1  = xn - f(xn)/df(xn);
   double x0 = xn;
   while(abs(x0-x1) > eps) {
      x0 = x1;
      x1 = x1 - f(x1)/df(x1);
   }
   return x1;
}

//Выбор начального приближения
xn = MyFunction(A)*My2Derivative(A) > 0 ? B : A;

double MyFunction(double x) { return (pow(x, 5) - x - 0.2); } //Ваша функция
double MyDerivative(double x) { return (5*pow(x, 4) - 1); } //Первая производная
double My2Derivative(double x) { return (20*pow(x, 3)); } //Вторая производная

//Пример вызова функции
double x = TangentsMethod(MyFunction, MyDerivative, xn, 0.1)

Haskell

import Data.List ( iterate' )

main :: IO ()
main = print $ solve (\ x -> x * x - 17) ( * 2) 4

-- Функция solve универсальна для всех вещественных типов значения которых можно сравнивать.
solve = esolve 0.000001

esolve epsilon func deriv x0 = fst . head $ dropWhile pred pairs
  where
    pred (xn, xn1) = (abs $ xn - xn1) > epsilon -- Функция pred определяет достигнута ли необходимая точность.
    next xn = xn - func xn / deriv xn -- Функция next вычисляет новое приближение.
    iters   = iterate' next x0        -- Бесконечный список итераций.
    pairs   = zip iters (tail iters)  -- Бесконечный список пар итераций вида: [(x0, x1), (x1, x2) ..].

Fortran

!   Main program
    REAL*8:: Xbeg, F, D1F, error  ! Имена переменных в главной программе и подпрограмме могут отличаться    
    INTEGER  Niter, Ncalc         ! Xbeg - начальное значение, F - функция, D1F - её производная, error - остаточная ошибка
        ***                       ! Niter - заданное число итераций, Ncalc - число выполненных итераций до достижения погрешности
    CALL NEWTON(Xbeg, Niter, F, D1F, Ncalc, error)
        ***
C======================================================
    SUBROUTINE NEWTON(X0, Nmax, Func, D1Func, Nevl, rer) ! Простейший вариант устойчиво работающей программы для нахождения корня  без второй производной                                                               

	REAL*8:: X0, X1, XB, q, Func, D1Func, rer, eps       ! Итог вычисления будет записан в переменную Х0
	INTEGER  Nmax, Nevl
	
	IF(Nmax*(1000-Nmax).LE.0) Nmax=1000                 ! Защита от дурака
	                Nevl=1; XB=X0
	DO I=1, Nmax
	IF(Func(X0).EQ.0.)            EXIT
    IF(D1Func(X0).EQ.0.)          THEN
    Print *, 'Error from NEWTON: D1Func=', D1Func(X0), '  X=', X0, '  I=', I
                                  EXIT
    END IF                   
		
	X1=X0-Func(X0)/D1Func(X0) 
	
	q=abs(D1Func(X0));  q=abs(1.-q)/q
	eps=MAX(rer, epsilon(X0))                           ! epsilon(X0) - машинная точность; выбирается, если rer=0.
	IF(abs(X0-X1).LE.q*eps)       EXIT
	
	X0=X1
	END DO
    
    IF(abs(Func(X0)).GE.abs(Func(XB))) PAUSE 'Error from NEWTON: Change the X0!'

	If(I.ne.Nmax+1) Nevl=I
	If(I.eq.Nmax+1) Nevl=Nmax
	
	END SUBROUTINE

Литература

• Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах : Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М. : Высшая школа, 1986. — 319 с. : ил. — ББК 22.1 А44. — УДК 517.8.
• Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров : Учеб. пособие. — М. : Высшая школа, 1994. — 544 с. : ил. — ББК 32.97 А62. — УДК 683.1. — ISBN 5-06-000625-5.
• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
• Вавилов С. И. Исаак Ньютон. — М. : Изд. АН СССР, 1945.
• Волков Е. А. Численные методы. — М. : Физматлит, 2003.
• Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М. : Мир, 1985.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М. : Наука, 1970. — С. 575—576.
• Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — Энергоатомиздат, 1972.
• Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М. : МИФИ, 1982.
• Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — МИФИ, 2002.

См. также

• Метод простой итерации
• Двоичный поиск
• Метод дихотомии
• Метод секущих
• Метод Мюллера
• Метод хорд
• Метод бисекции
• Фрактал
• Численное решение уравнений
• Целочисленный квадратный корень
• Быстрый обратный квадратный корень

Ссылки

• «Бассейны Ньютона» на сайте fractalworld.xaoc.ru
• «Исаак Ньютон» на сайте www.scottish-wetlands.org
• «Математические работы Канторовича» на сайте Института математики СО РАН
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Newton method", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Newton's Method (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Newton’s method, Citizendium.
• Mathews, J., The Accelerated and Modified Newton Methods, Course notes.
• Wu, X., Roots of Equations, Course notes.