Бассейны Ньютона
Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов.
Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости)[1].
Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:
Выбор начального приближения представляет особый интерес. Так как функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, какие именно области обеспечат сходимость к тому или иному корню?
История
[править | править код]Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году, однако разрешить его смогли лишь в 70-х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.
Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.
Три корня
[править | править код]Рассмотрим уравнение:
- ,
Оно имеет три корня. При выборе различных процесс будет сходиться к различным корням (областям притяжения). Артур Кэли поставил задачу описания этих областей, границы которых, как оказалось, имеют фрактальную структуру.
Построение
[править | править код]По следующей формуле:
Масштабирование
[править | править код]Если переместить центр экрана в точку и произвести масштабирование (), то вместо подстановки в многочлен , можно изменить сам многочлен. Так как , а , то . Так как , то .
Тогда
, считая новый многочлен , получаем
Литература
[править | править код]- Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
- Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
- Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
- Вавилов С. И. Исаак Ньютон. — М.: Изд. АН СССР, 1945.
- Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
- Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
- Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — Энергоатомиздат, 1972.
- Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
- Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — МИФИ, 2002.
- Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
- Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
- Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
- Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
- Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
- Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
- Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.
- Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.
Примечания
[править | править код]- ↑ Фрактал Ньютона . Дата обращения: 12 ноября 2009. Архивировано 20 декабря 2016 года.