Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^{2}+bx+c=0,$ где $a\neq 0.$

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами $a,~b,~c$ может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта $D=b^{2}-4ac:$

• при $D>0$ корней два, и они вычисляются по формуле

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D^{2}-4ac}}}{2a}};$       (1)

• при $D=0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  $x={\frac {-b}{2a}};$

• при $D<0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.$

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}},$

где $k=b/2.$ Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном $b$, то есть для уравнений вида $ax^{2}+2kx+c=0.$

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида $x^{2}+px+q=0,$ в котором старший коэффициент $a$ равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.$

Мнемонические правила

• Из «Радионяни»:

  «Минус» напишем сначала,
  Рядом с ним p пополам,
  «Плюс-минус» знак радикала,
  С детства знакомого нам.

  Ну, а под корнем, приятель,
  сводится всё к пустяку:
  p пополам и в квадрате
  Минус несчастное прекрасное q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

  p, со знаком взяв обратным,
  на два мы его разделим,
  и от корня аккуратно
  знаком «минус-плюс» отделим.

  А под корнем очень кстати
  половина p в квадрате
  минус q — и вот решенья,
  то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Теорема Виета

Основная статья: Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения $x^{2}+px+q=0$ равна коэффициенту $p$, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$:

$x_{1}+x_{2}=-p,\qquad \qquad x_{1}x_{2}=q.$

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$):

$x_{1}+x_{2}=-b/a,\qquad \qquad x_{1}x_{2}=c/a.$

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

$~ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

См. также

• Сведением к квадратному уравнению решается уравнение четвёртой степени (как в общем случае, так и в простейших: биквадратное уравнение, возвратное уравнение четвёртой степени).

Ссылки

• Решение квадратных уравнений онлайн [1],[2],[3]