Липшицево отображение

Липшицево отображение — отображение $f\colon X\to Y$ между метрическими пространствами $X$ и $Y$, удовлетворяющее условию

$\rho _{Y}(f(x),f(y))\leqslant L\rho _{X}(x,y)$

Для некоторой вещественной константы $L$ и всех $x,y\in X$. Здесь $\rho _{X}(\cdot ,\cdot )$ и $\rho _{Y}(\cdot ,\cdot )$ обозначают метрики в пространствах $X$ и $Y$ соответственно. Это условие часто называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также $L$-липшицевым.
  • 1-липшицево отображение называют также коротким отображением
• Нижняя грань чисел $L$, удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, назывется константой Липшица отображения $f$.
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-1}\colon Y\to X$ и оба $f$ и $f^{-1}$ являются липшицевыми
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется колипшицевым, если существует константа $L$, такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что

  $\rho _{Y}(f(x),y)\leqslant L\rho _{X}(x,x').$

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так: $\omega (f,\delta )\leqslant L\delta$.

История

Отображения со свойством

$|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|^{\alpha },\ \alpha \leq 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 для вещественных функций, в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ условием Гёльдера.

См. также

• Показатель Гёльдера